gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion $f: D [mm] \subset \IR \to \IR$ [/mm] sei stetig. Weiterhin existieren Konstanten $C > 0$ und [mm] $\alpha [/mm] > 0$, so dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] D$ gilt $|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] C [mm] |x-y|^\alpha$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass $f$ gleichmäßig stetig in $D$ ist. |
Hallöchen,
mal wieder komme ich nicht weiter, habe große Probleme mit der Aufgabe und hoffe auf eure Hilfe.
Ich kenne die Definition für die gleichmäßige Stetigkeit:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x, [mm] x_{0} \in [/mm] D :
| x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] -> |f(x) - [mm] f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Aber wie gehe ich jetzt voran? Und kann ich irgendwie anwenden, dass f stetig ist?
Die Definition für Stetigkeit lautet:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} \in [/mm] D :
| [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] -> [mm] |f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Do 14.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktion f ∶ D [mm]\subset[/mm] R -> R sei stetig. Weiterhin
> existieren Konstanten C > 0 und a > 0, so dass für alle
> x,y [mm]\in[/mm] D gilt |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] C |x-y| a. Zeigen Sie, dass
> f gleichmäßig stetig in D ist.
> Hallöchen,
>
> mal wieder komme ich nicht weiter, habe große Probleme mit
> der Aufgabe und hoffe auf eure Hilfe.
die Aufgabe ist eigentlich ganz einfach und unsinnig gestellt: Setze $L:=C [mm] *a\,,$ [/mm] dann folgt $L > [mm] 0\,.$ [/mm] Und damit ist [mm] $f\,$ [/mm] als Lipschitzstetig erkannt. Lipschitzstetige Funktionen sind insbesondere glm. stetig, den Minibeweis schreibe ich unten!
> Ich kenne die Definition für die gleichmäßige
> Stetigkeit:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] x, [mm]x_{0} \in[/mm]
> D :
>
> | x - [mm]x_{0}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] -> |f(x) - [mm]f(x_{0})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Aber wie gehe ich jetzt voran? Und kann ich irgendwie
> anwenden, dass f stetig ist?
Nein - oder ja. Wenn Du aus obiger Definition folgern kannst, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist. Aber da Du die glm. Stetigkeit zeigen sollst, ist das irgendwie nicht zu erwarten, dass Du erst Stetigkeit zeigst: Denn glm. Stetigkeit impl. Stetigkeit!
> Die Definition für Stetigkeit lautet:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall x_{1}[/mm] ,
> [mm]x_{2} \in[/mm] D :
>
> | [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] -> [mm]|f(x_{1})[/mm] - [mm]f(x_{2})|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
1.) Minibeweis dafür, dass, wenn [mm] $f\,$ [/mm] Lipschitz ist mit Lipschitzkonstante $L > [mm] 0\,,$ [/mm] dann schon [mm] $f\,$ [/mm] glm. stetig ist:
Nach Voraussetzung gilt $|f(x)-f(y)| < L(x-y)$ für alle $x,y [mm] \in D\,.$ [/mm] Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so setzen wir [mm] $\delta:=\varepsilon/L\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Du zeigst mir nun bitte, dass wir so erkennen:
$$x,y [mm] \in D\text{ mit }|x-y| [/mm] < [mm] \delta=L/\varepsilon \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon\,.|$$
[/mm]
Wie das geht? Nun ja: Du benutzt die Voraussetzung $x,y [mm] \in [/mm] D [mm] \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] L|x-y|\,,$ [/mm] und nun schaust Du, was passiert, wenn man $|x-y| < [mm] \delta=\varepsilon/L$ [/mm] da verwendet (oder [mm] $\le \delta$ [/mm] würde auch schon reichen).
2.) Wenn Du die Aufgabe nicht mit "Lipschitzkonstante" lösen willst, dann mache genau das gleiche, nur [mm] $L\,$ [/mm] wieder durch [mm] $C*a\,$ [/mm] ersetzen.
P.S.
Bei der Aufgabe hätte man auch direkt in den Voraussetzungen darauf verzichten können, zu erwähnen, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig sei. (Ich hatte das bei obigem Beweis eh überlesen.) Es reicht, wenn $f: D [mm] \subseteq \IR \to \IR$ [/mm] die genannte Abschätzung erfüllt: Dann ist [mm] $f\,$ [/mm] Lipschitz, damit insbesondere glm. stetig (siehe Beweis oben) und damit insbesondere stetig, also stetig in jedem Punkt des Definitionsbereichs.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:56 Do 14.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathemaus,
> Die Funktion f ∶ D [mm]\subset[/mm] R -> R sei stetig. Weiterhin
> existieren Konstanten C > 0 und a > 0, so dass für alle
> x,y [mm]\in[/mm] D gilt |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] C |x-y| a. Zeigen Sie, dass
> f gleichmäßig stetig in D ist.
ich habe nun, weil mich diese Aufgabenstellung gewundert hat, im Internet nachgeguckt. Die richtige Abschätzung lautet eigentlich:
$$|f(x)-f(y)| [mm] \le C|x-y|^a\,.$$
[/mm]
Dann setze zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ einfach
[mm] $$\delta:=\underbrace{\;\;\red{\left(\frac{\varepsilon}{C}\right)^{1/a}}\;\;}_{\displaystyle =\red{\exp((1/a)\;*\;\ln(\varepsilon/C))}} [/mm] > [mm] 0\,.$$ [/mm]
Auch hier braucht man nur die genannte Abschätzung - die Erwähnung der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] in den Voraussetzungen ist beim Beweis nicht erforderlich und ergibt sich von selbst.
@FRED: Danke für den Hinweis!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
ja danke für deine hilfe =) mir ist das gerade auch aufgefallen ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Do 14.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathemaus,
>
> > Die Funktion f ∶ D [mm]\subset[/mm] R -> R sei stetig. Weiterhin
> > existieren Konstanten C > 0 und a > 0, so dass für alle
> > x,y [mm]\in[/mm] D gilt |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] C |x-y| a. Zeigen Sie, dass
> > f gleichmäßig stetig in D ist.
>
> ich habe nun, weil mich diese Aufgabenstellung gewundert
> hat, im Internet nachgeguckt. Die richtige Abschätzung
> lautet eigentlich:
> [mm]|f(x)-f(y)| \le C|x-y|^a\,.[/mm]
>
> Dann setze zu [mm]\varepsilon > 0[/mm] einfach
> [mm]\delta:=\underbrace{\;\;\frac{\varepsilon^{1/a}}{C}\;\;}_{\displaystyle =\frac{\exp((1/a)\;*\;\ln(\varepsilon))}{C}} > 0\,.[/mm]
Hallo Marcel,
sicher meinst Du [mm] \delta=(\bruch{\varepsilon}{C})^{1/a}
[/mm]
FRED
> Auch hier braucht man nur die genannte Abschätzung - die
> Erwähnung der Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] in den Voraussetzungen
> ist beim Beweis nicht erforderlich und ergibt sich von
> selbst.
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Do 14.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Mathemaus,
> >
> > > Die Funktion f ∶ D [mm]\subset[/mm] R -> R sei stetig. Weiterhin
> > > existieren Konstanten C > 0 und a > 0, so dass für alle
> > > x,y [mm]\in[/mm] D gilt |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] C |x-y| a. Zeigen Sie, dass
> > > f gleichmäßig stetig in D ist.
> >
> > ich habe nun, weil mich diese Aufgabenstellung gewundert
> > hat, im Internet nachgeguckt. Die richtige Abschätzung
> > lautet eigentlich:
> > [mm]|f(x)-f(y)| \le C|x-y|^a\,.[/mm]
> >
> > Dann setze zu [mm]\varepsilon > 0[/mm] einfach
> >
> [mm]\delta:=\underbrace{\;\;\frac{\varepsilon^{1/a}}{C}\;\;}_{\displaystyle =\frac{\exp((1/a)\;*\;\ln(\varepsilon))}{C}} > 0\,.[/mm]
>
> Hallo Marcel,
>
> sicher meinst Du [mm]\delta=(\bruch{\varepsilon}{C})^{1/a}[/mm]
>
> FRED
natürlich 
Wobei das auch relativ egal ist, da es auch reicht, wenn $|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] $Konstante (welche $> [mm] 0\,$ [/mm] sei) Mal Epsilon für alle Epsilon > 0 gilt. (Aber dann hätte ich sinnvoller besser [mm] $\delta:=\varepsilon^{1/a}$ [/mm] wählen sollen.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Die Definition für Stetigkeit lautet:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall x_{1}[/mm] ,
> [mm]x_{2} \in[/mm] D :
>
> | [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] -> [mm]|f(x_{1})[/mm] - [mm]f(x_{2})|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
Falsch! Dies ist die Definition für die gleichmäßige Stetigkeit.
Grüße
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:34 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
>
> > Die Definition für Stetigkeit lautet:
> >
> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall x_{1}[/mm] ,
> > [mm]x_{2} \in[/mm] D :
> >
> > | [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] -> [mm]|f(x_{1})[/mm] - [mm]f(x_{2})|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Falsch! Dies ist die Definition für die gleichmäßige
> Stetigkeit.
das stimmt natürlich.
@ Mathemaus:
Die Definition für Stetigkeit lautet:
$f: [mm] \IR \supseteq [/mm] D [mm] \to \IR,$ [/mm] ist stetig an der Stelle [mm] $x_1 \in [/mm] D$ definitionsgemäß genau dann, wenn [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta=\delta_{\varepsilon,\,x_1}[/mm] > 0 [mm]\forall x_{2} \in D :[/mm] | [mm]x_{1} - x_{2}| < \delta[/mm] [mm] $\Rightarrow$ [/mm]
[mm]|f(x_{1}) -f(x_{2})| < \varepsilon\,,[/mm]
und [mm] $f\,$ [/mm] heißt kurz stetig genau dann, wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig für alle [mm] $x_1 \in [/mm] D$ ist!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
