gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Josy847 |
hallo,
mathe schafft mich mal wieder ich hoffe sehr das mir jemand helfen kann.
ich soll [mm] z^3=8i [/mm] berechnen leider versteh ich nicht wirklich wie ich das angehen soll es wäre super wenn mir jemand an so einer ähnlichen aufgebe einen rechenweg zeigen kann nur die formel bringt mich leider nicht weiter. vielen vielen dank an alle die mir versuchen zu helfen.
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Hallo, der Einstieg für dich z=a+bi
[mm] (a+bi)^{3}=8i
[/mm]
löse die Klammer auf
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Josy847 |
dieser weg soll wohl nicht vorteilhaft sein und ich wüsste auch nicht was davon a und was b ist. :-( aber dank dir trotzdem
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib deine zahl als [mm] r*e^{i\phi+n*2\pi}
[/mm]
und zieh dann die wurzel aus den beiden teilen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Josy847 |
hallo,
danke für eure hilfe ich komme bei der aufgabe [mm] z^3=8i [/mm] auf folgende lösung.
w=0,1,2
zk= [mm] \wurzel[n]{3i} e^i\bruch{\pi+2\pi*k}{3} [/mm] =
[mm] 2e^i(\bruch{\pi}{4}\bruch{\pi}{2})
[/mm]
z0= 2i(cos [mm] \bruch{\pi}{3}+isin \bruch{\pi}{3}) [/mm] = [mm] 1i+i\wurzel{3}
[/mm]
z1= 2i(cos [mm] 1\pi [/mm] +i sin [mm] 1\pi) [/mm] =-2i+0
z2= 2i(cos [mm] \bruch{5}{3}\pi [/mm] + i sin [mm] \bruch{5}{3}\pi) [/mm] = [mm] 1i+(-\wurzel{3})
[/mm]
ich hoffe es ist richtung sonst bitte ich um hilfe 
dann versuche ich grade [mm] z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] i zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit den brüchen verfahren soll bitte um hilfe.
und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine idee.
aufgabe [mm] z+2\overline{z} [/mm] = 5+iz
ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und [mm] (\overline{z}=a-bi)
[/mm]
komme so auf:
(a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
(a+bi)+2a-2bi = [mm] 5a+abi+bi^2 [/mm] -> [mm] bi^2=-1a
[/mm]
3a-bi = 5a+a*bi -1a
ab hier bin ich sehr unsicher
3a-bi = 4a+a*bi | /bi
[mm] \bruch{3a-bi}{bi} [/mm] = 4a+a
[mm] \bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi} [/mm] = 5a
[mm] \bruch{(3a-bi)*bi}{a} [/mm] = 5a
[mm] \bruch{3abi-bi^2}{a} [/mm] = 5a
[mm] \bruch{3abi+a}{a} [/mm] = 5a
da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
3abi =3bi darf ich das???
würde denn weiter machen mit:
[mm] \bruch{3bi+a}{a} [/mm] = 5a
[mm] \bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a} [/mm] =5a
[mm] \bruch{3}{a} [/mm] i + 1a =5a |-1a
[mm] \bruch{3}{a} [/mm] i =4a
ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln verletzt
und freue mich sehr über hilfe.
danke und für alle ein schönes we
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Hallo Josy847,
> hallo,
>
> danke für eure hilfe ich komme bei der aufgabe [mm]z^3=8i[/mm] auf
> folgende lösung.
>
> w=0,1,2
>
> zk= [mm]\wurzel[n]{3i} e^i\bruch{\pi+2\pi*k}{3}[/mm] =
> [mm]2e^i(\bruch{\pi}{4}\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> z0= 2i(cos [mm]\bruch{\pi}{3}+isin \bruch{\pi}{3})[/mm] =
> [mm]1i+i\wurzel{3}[/mm]
>
> z1= 2i(cos [mm]1\pi[/mm] +i sin [mm]1\pi)[/mm] =-2i+0
>
> z2= 2i(cos [mm]\bruch{5}{3}\pi[/mm] + i sin [mm]\bruch{5}{3}\pi)[/mm] =
> [mm]1i+(-\wurzel{3})[/mm]
>
>
> ich hoffe es ist richtung sonst bitte ich um hilfe
>
Ja, die Lösungen sind richtig.
Gemeint war zunächst:
[mm]z^{3}=8i=8*e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm]z_{k}=\wurzel[3]{8}*e^{i*\bruch{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}{3}}, \ k=0,1,2[/mm]
> dann versuche ich grade [mm]z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> i zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit den
> brüchen verfahren soll bitte um hilfe.
>
Schreibe die komplexe Zahl in dieser Form:
[mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}=r*e^{i*\phi}[/mm]
,wobei [mm]r, \ \phi \in \IR[/mm]
> und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine
> idee.
> aufgabe [mm]z+2\overline{z}[/mm] = 5+iz
>
> ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und
> [mm](\overline{z}=a-bi)[/mm]
>
> komme so auf:
>
> (a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
Hier muss doch stehen:
[mm](a+bi)+2(a-bi)= 5a+\blue{i}*(a+bi)[/mm]
> (a+bi)+2a-2bi = [mm]5a+abi+bi^2[/mm] -> [mm]bi^2=-1a[/mm]
> 3a-bi = 5a+a*bi -1a
> ab hier bin ich sehr unsicher
> 3a-bi = 4a+a*bi | /bi
> [mm]\bruch{3a-bi}{bi}[/mm] = 4a+a
> [mm]\bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi}[/mm] = 5a
> [mm]\bruch{(3a-bi)*bi}{a}[/mm] = 5a
> [mm]\bruch{3abi-bi^2}{a}[/mm] = 5a
> [mm]\bruch{3abi+a}{a}[/mm] = 5a
>
> da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer
> imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
> 3abi =3bi darf ich das???
> würde denn weiter machen mit:
> [mm]\bruch{3bi+a}{a}[/mm] = 5a
> [mm]\bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a}[/mm] =5a
> [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i + 1a =5a |-1a
> [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i =4a
>
> ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln
> verletzt
>
> und freue mich sehr über hilfe.
>
> danke und für alle ein schönes we
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Josy847 |
> Hallo Josy847,
>
>
> > hallo,
> >
> > danke für eure hilfe ich komme bei der aufgabe [mm]z^3=8i[/mm] auf
> > folgende lösung.
> >
> > w=0,1,2
> >
> > zk= [mm]\wurzel[n]{3i} e^i\bruch{\pi+2\pi*k}{3}[/mm] =
> > [mm]2e^i(\bruch{\pi}{4}\bruch{\pi}{2})[/mm]
> >
> > z0= 2i(cos [mm]\bruch{\pi}{3}+isin \bruch{\pi}{3})[/mm] =
> > [mm]1i+i\wurzel{3}[/mm]
> >
> > z1= 2i(cos [mm]1\pi[/mm] +i sin [mm]1\pi)[/mm] =-2i+0
> >
> > z2= 2i(cos [mm]\bruch{5}{3}\pi[/mm] + i sin [mm]\bruch{5}{3}\pi)[/mm] =
> > [mm]1i+(-\wurzel{3})[/mm]
> >
> >
> > ich hoffe es ist richtung sonst bitte ich um hilfe
> >
>
>
> Ja, die Lösungen sind richtig.
>
> Gemeint war zunächst:
>
> [mm]z^{3}=8i=8*e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann:
>
> [mm]z_{k}=\wurzel[3]{8}*e^{i*\bruch{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}{3}}, \ k=0,1,2[/mm]
>
>
>
> > dann versuche ich grade [mm]z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> > i zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit den
> > brüchen verfahren soll bitte um hilfe.
> >
>
>
> Schreibe die komplexe Zahl in dieser Form:
>
> [mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}=r*e^{i*\phi}[/mm]
>
> ,wobei [mm]r, \ \phi \in \IR[/mm]
>
>
> > und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine
> > idee.
> > aufgabe [mm]z+2\overline{z}[/mm] = 5+iz
> >
> > ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und
> > [mm](\overline{z}=a-bi)[/mm]
> >
> > komme so auf:
> >
> > (a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
>
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm](a+bi)+2(a-bi)= 5a+\blue{i}*(a+bi)[/mm]
> wie verfahre ich denn mit dem i und muss dann 5a nicht auch nur 5 sein? ist denn ai auch eine komplexe zahl bin jetzt total verwirrt!
>
> > (a+bi)+2a-2bi = [mm]5a+abi+bi^2[/mm] -> [mm]bi^2=-1a[/mm]
> > 3a-bi = 5a+a*bi -1a
> > ab hier bin ich sehr unsicher
> > 3a-bi = 4a+a*bi | /bi
> > [mm]\bruch{3a-bi}{bi}[/mm] = 4a+a
> > [mm]\bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi}[/mm] = 5a
> > [mm]\bruch{(3a-bi)*bi}{a}[/mm] = 5a
> > [mm]\bruch{3abi-bi^2}{a}[/mm] = 5a
> > [mm]\bruch{3abi+a}{a}[/mm] = 5a
> >
> > da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer
> > imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
> > 3abi =3bi darf ich das???
> > würde denn weiter machen mit:
> > [mm]\bruch{3bi+a}{a}[/mm] = 5a
> > [mm]\bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a}[/mm] =5a
> > [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i + 1a =5a |-1a
> > [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i =4a
> >
> > ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln
> > verletzt
> >
> > und freue mich sehr über hilfe.
> >
> > danke und für alle ein schönes we
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Josy547,
> >
> > > und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine
> > > idee.
> > > aufgabe [mm]z+2\overline{z}[/mm] = 5+iz
> > >
> > > ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und
> > > [mm](\overline{z}=a-bi)[/mm]
> > >
> > > komme so auf:
> > >
> > > (a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
> >
> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm](a+bi)+2(a-bi)= 5a+\blue{i}*(a+bi)[/mm]
> > wie verfahre ich
> denn mit dem i und muss dann 5a nicht auch nur 5 sein? ist
> denn ai auch eine komplexe zahl bin jetzt total verwirrt!
Nein.
Multipliziere den 2. Summanden aus
und berücksichtige daß [mm]i^{2}=-1[/mm] ist.
> >
> > > (a+bi)+2a-2bi = [mm]5a+abi+bi^2[/mm] -> [mm]bi^2=-1a[/mm]
> > > 3a-bi = 5a+a*bi -1a
> > > ab hier bin ich sehr unsicher
> > > 3a-bi = 4a+a*bi | /bi
> > > [mm]\bruch{3a-bi}{bi}[/mm] = 4a+a
> > > [mm]\bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi}[/mm] = 5a
> > > [mm]\bruch{(3a-bi)*bi}{a}[/mm] = 5a
> > > [mm]\bruch{3abi-bi^2}{a}[/mm] = 5a
> > > [mm]\bruch{3abi+a}{a}[/mm] = 5a
> > >
> > > da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer
> > > imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
> > > 3abi =3bi darf ich das???
> > > würde denn weiter machen mit:
> > > [mm]\bruch{3bi+a}{a}[/mm] = 5a
> > > [mm]\bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a}[/mm] =5a
> > > [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i + 1a =5a |-1a
> > > [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i =4a
> > >
> > > ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln
> > > verletzt
> > >
> > > und freue mich sehr über hilfe.
> > >
> > > danke und für alle ein schönes we
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Josy847 |
aber das habe ich doch bei [mm] bi^2 [/mm] auch gemacht oder habe ich es mal übersehen?
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Hallo Josy547,
> aber das habe ich doch bei [mm]bi^2[/mm] auch gemacht oder habe ich
> es mal übersehen?
Es ist [mm]bi^{2}=-b[/mm] und nicht -a.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Josy847 |
aber [mm] i^2 [/mm] ist doch -1 und deswegeb bei mir -a ????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 25.11.2011 | | Autor: | abakus |
> aber [mm]i^2[/mm] ist doch -1 und deswegeb bei mir -a ????
Lies die Antwort von MathePower noch mal ganz langsam und sinniere über den Unterschied von "b" und "a"...
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Josy847 |
ok ich hoffe ich habs jetzt :
würde auf
3a-1bi =5a+ai-b kommen
und es dann aufteilen in
z1 = 2a+ai ?
z2 = -b +bi ???
ist das so richtig??? oder vergesse ich schon wieder was.
und ein riesen dankeschön für eure großartige hilfe ihr seit super
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Hallo Josy547,
> ok ich hoffe ich habs jetzt :
>
> würde auf
>
> 3a-1bi =5a+ai-b kommen
> und es dann aufteilen in
>
> z1 = 2a+ai ?
> z2 = -b +bi ???
>
> ist das so richtig??? oder vergesse ich schon wieder was.
>
Um a und b zu bestimmen, ist diese Gleichung
in Real- und Imaginärteil aufzuteilen.
> und ein riesen dankeschön für eure großartige hilfe ihr
> seit super
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Fr 25.11.2011 | | Autor: | Josy847 |
> Hallo Josy847,
>
>
> > hallo,
> >
> > danke für eure hilfe ich komme bei der aufgabe [mm]z^3=8i[/mm] auf
> > folgende lösung.
> >
> > w=0,1,2
> >
> > zk= [mm]\wurzel[n]{3i} e^i\bruch{\pi+2\pi*k}{3}[/mm] =
> > [mm]2e^i(\bruch{\pi}{4}\bruch{\pi}{2})[/mm]
> >
> > z0= 2i(cos [mm]\bruch{\pi}{3}+isin \bruch{\pi}{3})[/mm] =
> > [mm]1i+i\wurzel{3}[/mm]
> >
> > z1= 2i(cos [mm]1\pi[/mm] +i sin [mm]1\pi)[/mm] =-2i+0
> >
> > z2= 2i(cos [mm]\bruch{5}{3}\pi[/mm] + i sin [mm]\bruch{5}{3}\pi)[/mm] =
> > [mm]1i+(-\wurzel{3})[/mm]
> >
> >
> > ich hoffe es ist richtung sonst bitte ich um hilfe
> >
>
>
> Ja, die Lösungen sind richtig.
>
> Gemeint war zunächst:
>
> [mm]z^{3}=8i=8*e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann:
>
> [mm]z_{k}=\wurzel[3]{8}*e^{i*\bruch{\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi}{3}}, \ k=0,1,2[/mm]
>
>
>
> > dann versuche ich grade [mm]z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] i [green]das i war verrutscht[/green
> > zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit den
> > brüchen verfahren soll bitte um hilfe.
> >
>
>
> Schreibe die komplexe Zahl in dieser Form:
>
> [mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}=r*e^{i*\phi}[/mm]
>
> ,wobei [mm]r, \ \phi \in \IR[/mm]
das hilft mir igendwie noch nicht so ganz weiter muss ich denn die 4te wurzel sovohl vom re teil als auch dem im teil ziehen und dann mit beides weiter rechnen und da wo oben wo 2(cos ...) kommt dann statt der zwei 1/2+ wurzel 3 usw und dann ausklammern oder wie mach ich das????
>
>
> > und noch eine aufgabe haber da habe ich immerhin eine
> > idee.
> > aufgabe [mm]z+2\overline{z}[/mm] = 5+iz
> >
> > ich habe da erstmal z und z betrag aufgelöst (z=a+bi) und
> > [mm](\overline{z}=a-bi)[/mm]
> >
> > komme so auf:
> >
> > (a+bi)+2(a-bi)= 5a+bi*(a+bi)
>
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm](a+bi)+2(a-bi)= 5a+\blue{i}*(a+bi)[/mm]
>
>
> > (a+bi)+2a-2bi = [mm]5a+abi+bi^2[/mm] -> [mm]bi^2=-1a[/mm]
> > 3a-bi = 5a+a*bi -1a
> > ab hier bin ich sehr unsicher
> > 3a-bi = 4a+a*bi | /bi
> > [mm]\bruch{3a-bi}{bi}[/mm] = 4a+a
> > [mm]\bruch{3a-bi}{bi} *\bruch{-bi}{-bi}[/mm] = 5a
> > [mm]\bruch{(3a-bi)*bi}{a}[/mm] = 5a
> > [mm]\bruch{3abi-bi^2}{a}[/mm] = 5a
> > [mm]\bruch{3abi+a}{a}[/mm] = 5a
> >
> > da 3a eine einfache reale zahl ist die ich mit einer
> > imaginären zahl multipliziere mache ich einfach aus
> > 3abi =3bi darf ich das???
> > würde denn weiter machen mit:
> > [mm]\bruch{3bi+a}{a}[/mm] = 5a
> > [mm]\bruch{3}{a}i +\bruch{a}{a}[/mm] =5a
> > [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i + 1a =5a |-1a
> > [mm]\bruch{3}{a}[/mm] i =4a
> >
> > ich hoffe ich habe nicht ganz sobiele mathe regeln
> > verletzt
> >
> > und freue mich sehr über hilfe.
> >
> > danke und für alle ein schönes we
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Josy547,
> > > dann versuche ich grade [mm]z^4= -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> i das i war verrutscht[/green
> > > zu lösen und habe überhaupt keine idee wie ich mit
> den
> > > brüchen verfahren soll bitte um hilfe.
> > >
> >
> >
> > Schreibe die komplexe Zahl in dieser Form:
> >
> > [mm]-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}=r*e^{i*\phi}[/mm]
> >
> > ,wobei [mm]r, \ \phi \in \IR[/mm]
> das hilft mir igendwie noch
> nicht so ganz weiter muss ich denn die 4te wurzel sovohl
> vom re teil als auch dem im teil ziehen und dann mit beides
> weiter rechnen und da wo oben wo 2(cos ...) kommt dann
> statt der zwei 1/2+ wurzel 3 usw und dann ausklammern oder
> wie mach ich das????
Zunächst ist
[mm]z^{4}=-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i=r*e^{i\phi}[/mm]
Dann ist
[mm]z_{k}=\wurzel[4]{r}*e^{i*\bruch{\phi+2*k*\pi}{4}},\ k=0,1,2,3[/mm]
bzw.
[mm]z_{k}=\wurzel[4]{r}*\left( \ \cos\left(\ \bruch{\phi+2*k*\pi}{4} \ \right)+i*\sin\left(\ \bruch{\phi+2*k*\pi}{4} \ \right) \ \right), \ k=0,1,2,3[/mm]
Gruss
MathePower
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