glm.Konvergenz Fkt-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Gegeben ist die Funktionenefolge [mm] f_n: \IR\longrightarrow\IR, f_n(x)=\frac{x}{1+nx^2}
[/mm]
Die Grenzfunktion habe ich schon rausbekommen: f(x)=0 für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Nun soll ich aber außerdem auch noch die gleichmäßige Konvergenz überprüfen. Ich bekomme es aber irgendwie nicht hin - weder den Beweis, noch finde ich ein Gegenbeispiel. Kann mir jemand dazu einen Tipp geben?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Fr 01.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was hast du denn zum Beweis versucht? fuer welches x weicht den dein [mm] f_n(x)
[/mm]
am meisten von 0 ab? dann kannst du ein n unabh, von x finden so dass [mm] |f_n-0|<\epsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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Zum Widerlegen habe ich die Funktionenfolge für [mm] x=\frac{1}{n} [/mm] und [mm] x=\frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] angeschaut, was aber beides nichts bringt. Möglicherweise ist es also gleichmäßig konvergent.
Zum Beweis habe ich versucht, den Nenner abzuschätzen:
[mm] \frac{x}{1+nx^2}\leq\frac{x}{nx^2}=\frac{1}{nx}
[/mm]
(für [mm] x\neq0). [/mm] Für [mm] |x|\geq1 [/mm] kann ich das noch weiter abschätzen und bekomme: [mm] \frac{1}{n}, [/mm] was auf gleichmäßige Konvergenz immerhin für [mm] |x|\geq1 [/mm] schließen lässt.
Aber wie sieht das für |x|<1 aus? Da bekomme ich immer noch nichts hin.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Sa 02.04.2011 | | Autor: | max3000 |
Das ist viel zu grob abgeschätzt.
Wenn du da 1/x drin hast dann ist das schonmal falsch.
Berechne doch einfach mal
[mm] \|f_n-0\|_{C(\IR)}
[/mm]
Das kannst du doch ohne Probleme ausrechnen. Das hängt sicherlich so von n ab, so dass es für [mm] $n\rightarrow [/mm] 0$ ebenfalls gegen 0 konvergiert.
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> Das ist viel zu grob abgeschätzt.
> Wenn du da 1/x drin hast dann ist das schonmal falsch.
> Berechne doch einfach mal
>
> [mm]\|f_n-0\|_{C(\IR)}[/mm]
>
> Das kannst du doch ohne Probleme ausrechnen. Das hängt
> sicherlich so von n ab, so dass es für [mm]n\rightarrow 0[/mm]
> ebenfalls gegen 0 konvergiert.
Vielleicht verstehe ich deine Antwort auch falsch, aber so überprüfe ich doch die punktweise Konvergenz (die bekomme ich hin). Ich scheitere jedoch an der gleichmäßigen Konvergenz, weil ich dafür keine Abschätzung hinbekomme.
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Huhu,
> > [mm]\|f_n-0\|_{C(\IR)}[/mm]
> Vielleicht verstehe ich deine Antwort auch falsch, aber so
> überprüfe ich doch die punktweise Konvergenz (die bekomme
> ich hin). Ich scheitere jedoch an der gleichmäßigen
> Konvergenz, weil ich dafür keine Abschätzung hinbekomme.
nein, eine Funktionenfolge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert genau dann glm gegen f, wenn [mm] $||f_n \to f||_\infty \to [/mm] 0$, wobei [mm] $||*||_\infty$ [/mm] die Supremumsnorm ist.
Für punktweise Konvergenz reicht bereits [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \to [/mm] 0$
MFG,
Gono.
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> Huhu,
>
> > > [mm]\|f_n-0\|_{C(\IR)}[/mm]
>
> > Vielleicht verstehe ich deine Antwort auch falsch, aber so
> > überprüfe ich doch die punktweise Konvergenz (die bekomme
> > ich hin). Ich scheitere jedoch an der gleichmäßigen
> > Konvergenz, weil ich dafür keine Abschätzung hinbekomme.
>
> nein, eine Funktionenfolge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert
> genau dann glm gegen f, wenn [mm]||f_n \to f||_\infty \to 0[/mm],
> wobei [mm]||*||_\infty[/mm] die Supremumsnorm ist.
> Für punktweise Konvergenz reicht bereits [mm]|f_n(x) - f(x)| \to 0[/mm]
>
> MFG,
> Gono.
>
ok, stimmt! Das sehe ich ein.
Trotzdem hilft mir das bei meinem ursprünglichen Problem mit der Abschätzung nicht wirklich weiter. Ich weiß nämlich immer noch nicht, wie ich die hinbekommen soll :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst auch einfach zeigen, dass [mm] |f_n(x)-0|< \epsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0 [/mm] unabhängig von x.
dazu würd ich erst mal die maximale abweichung von 0 und deren stelle suchen. dann ist ein [mm] n_0(\epsilon) [/mm] leicht zu finden.
gruss leduart
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> Hallo
> du kannst auch einfach zeigen, dass [mm]|f_n(x)-0|< \epsilon[/mm]
> für alle [mm]n>n_0[/mm] unabhängig von x.
> dazu würd ich erst mal die maximale abweichung von 0 und
> deren stelle suchen. dann ist ein [mm]n_0(\epsilon)[/mm] leicht zu
> finden.
> gruss leduart
>
wenn ich dieses [mm] x_0, [/mm] bei dem [mm] f_n [/mm] die maximale Abweichung hat, gefunden habe, dann sehe ich ein, dass ich dann nicht mehr viel zu tun habe:
[mm] |f_n(x)|\leq f_n(x_0)=\frac{x_0}{1+nx_0^2}\longrightarrow [/mm] 0 für [mm] n\rightarrow\infty [/mm]
Aber wie finde ich denn dieses [mm] x_0 [/mm] mit der maximalen Abweichung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie findet man denn wohl das max einer Funktion?
Gruss leduart
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