glm. Konvergenz Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mi 27.11.2013 | | Autor: | aaron12 |
Hallo,
ich verstehe einen "Beweis nicht", bei dem gezeigt wird dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}z^{n}/n [/mm] gleichmäßig auf dem Einheitskreis konvergiert, außer bei z=1
Wie man auf den Konvergenzradius 1 kommt weiß ich. Es geht jetzt um das Verhalten am Rand des Konvergenzradius und da konvergiert es anscheinend gleichmäßig.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_series
Der letzte Abschnitt. Die Umformung nachdem man die Reihe mit (1-z) multipliziert kann ich nachvollziehen, allerdings weiß ich nicht wieso man das macht bzw. inwiefern das die gleichmäßige Konvergenz für
|z|=1, z [mm] \not= [/mm] 1
Würde mich freuen wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich verstehe einen "Beweis nicht", bei dem gezeigt wird
> dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}z^{n}/n[/mm] gleichmäßig auf dem
> Einheitskreis konvergiert, außer bei z=1
Das stimmt so nicht und das wird auch in dem von Dir erwähnten Wiki-Artikel nicht gesagt !
Führen wir einige Bezeichnungen ein:
Sei [mm] D:=\{z \in \IC:|z|<1\} [/mm] und für r>0 sei [mm] D_r:= \{z \in \IC: |z-1|
In dem Artikel wird behauptet:
ist r>0, so konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty}z^{n}/n[/mm] gleichmäßig auf [mm] \overline{D} \setminus D_r.
[/mm]
>
> Wie man auf den Konvergenzradius 1 kommt weiß ich. Es geht
> jetzt um das Verhalten am Rand des Konvergenzradius und da
> konvergiert es anscheinend gleichmäßig.
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_series
>
> Der letzte Abschnitt. Die Umformung nachdem man die Reihe
> mit (1-z) multipliziert kann ich nachvollziehen, allerdings
> weiß ich nicht wieso man das macht
weil der Beweis damit funktioniert !
> bzw. inwiefern das die
> gleichmäßige Konvergenz für
> |z|=1, z [mm]\not=[/mm] 1
S.o.
>
> Würde mich freuen wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
> :)
Wir setzen für z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| [mm] \le [/mm] 1:
[mm] g_m(z):=\summe_{n=1}^{m}z^{n}/n [/mm] (m [mm] \in \IN)
[/mm]
Dann ist [mm] (1-z)g_m(z)=z -\sum_{n=2}^m \frac{z^n}{n(n-1)} [/mm] - [mm] \frac{z^{m+1}}{m}.
[/mm]
Weiter sei [mm] f_m(z):= [/mm] z [mm] -\sum_{n=2}^m \frac{z^n}{n(n-1)} [/mm] - [mm] \frac{z^{m+1}}{m}.
[/mm]
Für |z| [mm] \le [/mm] 1 Konvergieren die Folgen
[mm] (\sum_{n=2}^m \frac{z^n}{n(n-1)})_m [/mm] und [mm] (\frac{z^{m+1}}{m})_m [/mm] gleichmäßig.
Damit ist [mm] (f_m) [/mm] auf [mm] \overline{D} [/mm] gleichmäßig konvergent.
Wegen [mm] g_m(z)=\bruch{f_m(z)}{1-z} [/mm] konvergiert [mm] (g_m) [/mm] punktweise auf [mm] \overline{D} \setminus \{1\}.
[/mm]
Es folgt daraus die gleichmäßige Konvergenz von [mm] (g_m) [/mm] auf [mm] \overline{D} \setminus D_r
[/mm]
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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