global/lokal < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 So 24.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | bestimmen sie globale und lokale Extremstellen:
c) f(x)= [mm] e^{-0.5*2x^{2}} [/mm] |
Hi
die funktion hat ja bei x=0 ein Maximum.
Ich habe generell noch große Probleme beim unterscheiden bzw. bestimmen von lokal und global, besonders bei Betragsfunktionen....
bei dem beispiel ist es glaube ich ein globales maximun...
ist aber ein globales nicht auch immer ein lokales maximum, jetzt mal allgemein betrachtet??
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 24.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
die Definition in deiner VL müsste wohl so ähnlich lauten:
Eine Funktion f mit [mm]f:X\to\IR[/mm] und [mm] X\subseteq\IR^n[/mm] besitzt an der Stelle [mm]x^{\*}\in{X}[/mm]
i) lokales Minimum, falls [mm]f(x^{\*})\leq{f(x)} [/mm] für alle x in einer hinreichend kleinen Umgebung von [mm]x^{\*}[/mm],
ii) globales Minimum, falls [mm]f(x^{\*})\leq{f(x)} [/mm] für alle [mm]x\in{X}[/mm].
Maxima mit umgekehrten Relationen.
> bei dem beispiel ist es glaube ich ein globales maximun...
Bei deiner gewählten Funktion - sofern ich diese denn als [mm]e^{-0,5*2*x^2}[/mm] richtig interpretiert habe - liegt allerdings kein Maximum, sondern ein Minimum an der Stelle x=0 vor. Unter Berücksichtigung obiger Definition - lokal oder global?
> ist aber ein globales nicht auch immer ein lokales maximum,
> jetzt mal allgemein betrachtet??
Wenn wir obige Definition betrachten, also von einem globalen Minimum ausgehen, so ist ii) erfüllt und somit insbesondere auch i). Denn wenn [mm] $f(x^{\*})\leq{f(x)} [/mm] $ für alle [mm] $x\in{X}$ [/mm] gilt, ist auch [mm] $f(x^{\*})\leq{f(x)} [/mm] $ für alle x in einer hinreichend kleinen Umgebung von [mm] $x^{\*}$ [/mm] erfüllt.
Gruß
barsch
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