globale Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
[mm] f(x,y,z)=e^{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\bruch{3}{4})
[/mm]
a)Unersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen
b)Hat die Funktion globale Extrema? |
Hallo,
habe folgende Frage zu obiger Aufgabe: Wie bestimme ich in b) die globalen Extrema? Ich habe bereits für a) folgende Extrema berechnet:
[mm] (-\bruch{1}{2},0,0) [/mm] ist ein Minimum und [mm] (-\bruch{3}{2},0,0) [/mm] ist ein Maximum.
Ich weiß nur nicht genau, wie ich in b) vorzugehen habe.
Vielen Dank im voraus!
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Hallo,
> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f(x,y,z)=e^{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\bruch{3}{4})[/mm]
>
> a)Unersuchen* Sie die Funktion auf Extremstellen
> b)Hat die Funktion globale Extrema?
> Hallo,
> habe folgende Frage zu obiger Aufgabe: Wie bestimme ich in
> b) die globalen Extrema? Ich habe bereits für a) folgende
> Extrema berechnet:
> [mm](-\bruch{1}{2},0,0)[/mm] ist ein Minimum und
> [mm](-\bruch{3}{2},0,0)[/mm] ist ein Maximum.
>
> Ich weiß nur nicht genau, wie ich in b) vorzugehen habe.
>
Vorneweg: ich habe jetzt deine Lösungen zu a) nicht nachgerechnet (ist ja aber auch nicht dein Anliegen?). Die Aufgabe b) ist eher etwas zum Nachdenken als zum Rechnen. Ein scharfer Blick auf den Funktionsterm zeigt sofort, dass diese Funktion kein globales Maximum annehmen kann, dagegen auf jeden Fall ein globales Minimum besitzen muss. dass diese Funktion kein globales Extremum annehmen kann. Überlege dir dazu einfach, was die Funktion f entlang der x-Achse so macht...
EDIT: ich hatte mich vorhin mit dem Minimum vertan, daher die Korrektur.
Gruß, Diophant
* Ist das eine pfälzische Matheaufgabe? 
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Danke für die schnelle Rückmeldung!
> Vorneweg: ich habe jetzt deine Lösungen zu a) nicht
> nachgerechnet (ist ja aber auch nicht dein Anliegen?).
Genau, zu Teil a) habe ich keine Frage.
> Überlege dir dazu einfach, was die Funktion f entlang der
> x-Achse so macht...
Ok, setze ich dann einfach alle anderen Variablen außer x gleich null und schaue mir den limes gegen +/- unendlich an? Wenn ja, dann gucke ich mir den Limes von folgender Funktion an:
[mm] e^{x}(x^{2}+\bruch{3}{4})
[/mm]
der limes gegen unendlich läuft dann für x gegen unendlich.
Der limes gegen minus unendlich ist etwas schwieriger:
Die e Funktion läuft gegen null für -undendlich, das [mm] x^{2} [/mm] läuft gegen unendlich. Das sagt noch nichts aus, weshalb ich den Term in einen Bruch umwandel und den l'Hospital anwende, oder? Dann hätte ich stehen
[mm] \bruch{x^{2}+\bruch{3}{4}}{e^{-x}}
[/mm]
Zähler und Nenner laufen dann gegen unendlich und ich kann den l'Hospital anwenden. Ich leite Zähler und Nenner getrennt ab bis ich [mm] \bruch{2}{e^{x}} [/mm] erhalte.
Das läuft dann gegen 0 für minus unendlich.
Frage: Was sagt mir das dann in Bezug auf die globalen Extrema? Muss ich die anderen Variablen nicht auch betrachten, oder warum schaue ich mir nur x an?
> * Ist das eine pfälzische Matheaufgabe?
Nein, warum? :D
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Hallo,
> > Überlege dir dazu einfach, was die Funktion f entlang der
> > x-Achse so macht...
> Ok, setze ich dann einfach alle anderen Variablen außer x
> gleich null und schaue mir den limes gegen +/- unendlich
> an? Wenn ja, dann gucke ich mir den Limes von folgender
> Funktion an:
> [mm]e^{x}(x^{2}+\bruch{3}{4})[/mm]
> der limes gegen unendlich läuft dann für x gegen
> unendlich.
Ja, genau.
>
> Der limes gegen minus unendlich ist etwas schwieriger:
> Die e Funktion läuft gegen null für -undendlich, das
> [mm]x^{2}[/mm] läuft gegen unendlich. Das sagt noch nichts aus,
> weshalb ich den Term in einen Bruch umwandel und den
> l'Hospital anwende, oder? Dann hätte ich stehen
>
> [mm]\bruch{x^{2}+\bruch{3}{4}}{e^{-x}}[/mm]
>
> Zähler und Nenner laufen dann gegen unendlich und ich kann
> den l'Hospital anwenden. Ich leite Zähler und Nenner
> getrennt ab bis ich [mm]\bruch{2}{e^{x}}[/mm] erhalte.
> Das läuft dann gegen 0 für minus unendlich.
Auch richtig (bis auf das Vorzeichen im Exponenten des Nenners).
>
> Frage: Was sagt mir das dann in Bezug auf die globalen
> Extrema? Muss ich die anderen Variablen nicht auch
> betrachten, oder warum schaue ich mir nur x an?
Wenn f in eine Richtung gegen [mm] \infty [/mm] strebt, ist die Sache mit den globalen Maxima gegessen.
Da man ohne Nachrechnen ebenfalls sofort f>0 begründen kann, sind damit insbesondere beide errechneten Extrema positiv. Da f entlang der negativen x-Achse aber gegen Null strebt, kann es eben auch kein globales Minimum geben.
>
> > * Ist das eine pfälzische Matheaufgabe?
> Nein, warum? :D
Sonst wär es ja ein Rechtschreibfehler weiter oben, denn es müsste dann heißen: Unnersuche Sie...
Oder ganz trocken: du hast im Startposting das t in 'Untersuchen Sie' vergesssen und das hat mich zu einem frühmorgendlichen Witz inspiriert...
Gruß, Diophant
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> Wenn f in eine Richtung gegen [mm]\infty[/mm] strebt, ist die Sache
> mit den globalen Maxima gegessen.
Im Umkehrschluss gibt es kein globales Minimum, wenn eine Variable gegen minus Unendlich strebt, richtig? Da sofort ersichtlich, dass y und z gegen unendlich für minus unendlich streben, musste nur noch x untersucht werden, oder?
> Da f entlang der negativen x-Achse aber gegen Null
> strebt, kann es eben auch kein globales Minimum geben.
Sind die Werte links und rechts von meinem lokalen Minimum (- [mm] \bruch{1}{2}/0/0) [/mm] nicht größer als mein lokales Minimum, wodurch aus dem lokalen Minimum ein globales Minimum wird? Ich hab irgendwie Schwierigkeiten mir das Ganze in mehr Dimensionen vorzustellen.
Vielen Dank um voraus!
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Hallo,
> > Wenn f in eine Richtung gegen [mm]\infty[/mm] strebt, ist die Sache
> > mit den globalen Maxima gegessen.
> Im Umkehrschluss gibt es kein globales Minimum, wenn eine
> Variable gegen minus Unendlich strebt, richtig? Da sofort
> ersichtlich, dass y und z gegen unendlich für minus
> unendlich streben, musste nur noch x untersucht werden,
> oder?
Deine Frage ist unglücklich formuliert, aber du meinst wohl das Richtige. Wenn eine Funktion an einer Stelle oder irgendwo am Rand ihres Definitionsbereichs gegen [mm] -\infty [/mm] strebt, besitzt sie kein globales Minimum.
>
> > Da f entlang der negativen x-Achse aber gegen Null
> > strebt, kann es eben auch kein globales Minimum geben.
> Sind die Werte links und rechts von meinem lokalen Minimum
> (- [mm]\bruch{1}{2}/0/0)[/mm] nicht größer als mein lokales
> Minimum, wodurch aus dem lokalen Minimum ein globales
> Minimum wird?
Kann es sein, dass dir der Begriff eines globalen Extremwerts unklar ist? Ein globales Minimum müsste der kleinste Wert sein, den die Funktion überhaupt annimmt. Da sie wie besprochen für [mm] x\to{-\infty} [/mm] gegen 0 strebt und der Funktionswert an der Stelle (-1/2|0|0) positiv ist (da alle Funktionswerte positiv sind!), kann das hier nicht der Fall sein.
>Ich hab irgendwie Schwierigkeiten mir das
> Ganze in mehr Dimensionen vorzustellen.
Vorstellen kann man sich das hier auch nicht mehr, da das Koordinatensystem vierdimensional wäre. Muss man aber auch nicht, es geht letztendlich nur um Zahlen.
Gruß, Diophant
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> Da sie wie besprochen für [mm]x\to{-\infty}[/mm] gegen 0 strebt und
> der Funktionswert an der Stelle (-1/2|0|0) positiv ist (da
> alle Funktionswerte positiv sind!), kann das hier nicht der
> Fall sein.
Ah danke, jetzt habe ich es verstanden!
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> > Wenn f in eine Richtung gegen [mm]\infty[/mm] strebt, ist die Sache
> > mit den globalen Maxima gegessen.
> Im Umkehrschluss gibt es kein globales Minimum, wenn eine
> Variable gegen minus Unendlich strebt, richtig? Da sofort
> ersichtlich, dass y und z gegen unendlich für minus
> unendlich streben, musste nur noch x untersucht werden,
> oder?
Das ist richtig. Aber es gibt auch andere Fälle, bei denen es kein globales Minimum gibt.
[mm] f(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2+z^2)} [/mm] geht z.B. für x [mm] \mapsto \infty [/mm] oder y [mm] \mapsto \infty [/mm] oder z [mm] \mapsto \infty [/mm] gegen 0 und nicht nach [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty, [/mm] aber alle anderen Funktionswerte sind positiv. Die Funktion hat ein lokales und globales Maximum bei (0|0|0), aber kein (lokales oder globales) Minimum.
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> > Da f entlang der negativen x-Achse aber gegen Null
> > strebt, kann es eben auch kein globales Minimum geben.
> Sind die Werte links und rechts von meinem lokalen Minimum
> (- [mm]\bruch{1}{2}/0/0)[/mm] nicht größer als mein lokales
> Minimum, wodurch aus dem lokalen Minimum ein globales
> Minimum wird? Ich hab irgendwie Schwierigkeiten mir das
> Ganze in mehr Dimensionen vorzustellen.
Links und rechts sind hier unangebracht, weil du ja sogar 3 Dimensionen hast. Stell dir vor, du hältst deinen Finger in die Höhe, und genau dort beträgt die Temperatur 40 °C. Überall rundherum in unmittelbarer Nähe ist es aber kälter (warum auch immer). Dann herrscht dort ein lokales Maximum. Wenn es im gesamten betrachteten Raum nirgendwo wärmer ist, ist es ein globales, wenn es z.B. in einer Ecke über dem Herd wärmer ist, nur ein lokales Maximum.
Zur räumlichen Vorstellung: Ein Techniker hört einen Vortrag über den vierdimensionalen Raum. Er ist völlig überfordert und verzweifelt, während ein Mathematiker neben ihm ganz entspannt zuhört. In der Pause fragt er ihn: "Sagen Sie mal, verstehen Sie das alles?" "Ja klar." "Wie machen Sie das?" "Ich stelle mir den n-dimensionalen Raum vor und vereinfache dann auf n=4."
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