globales Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Do 04.05.2006 | | Autor: | Susella |
| Aufgabe |
1. a) Ermitteln Sie die lokalen Extremstellen und Wendestellen der Funktion f zu
f(x) = x/
(1+x²) .
b) Weisen Sie nach, dass die lokalen Extrema auch die globalen Extrema der
Funktion f sind. Untersuchen Sie das Verhalten von f f¨ur große/kleine x.
Skizzieren Sie mit den gewonnenen Erkenntnissen den Graphen von f.
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Hallo, ich habe ein kleines Problem mit der mir gestellten Aufgabe.(siehe unten) : Der a-Teil ist klar, ableiten, Extremstellen,Wendepunkt... Aber wie gehe ich am Besten bei dem b-Teil vor ??Sprich wie weise ich nach, dass das lokale Extrema gleichzeitig global ist und wie bearbeite ich den Rest der Aufgabe...
Vielen Dank schon mal im voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Susella,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Für den Nachwies der globalen Extrame kannst Du z.B. folgendermaßen vorgehen.
Der Hochpunkt liegt da bei $H \ [mm] \left( \ 1 \ \left| \ \bruch{1}{2} \ \right)$ .
Damit dies nun ein globales Maximum ist, darf für die Ungleichung $f(x) \ > \ y_H \ = \ \bruch{1}{2}$ [b]keine[/b] Lösung existieren.
Also "einfach mal" ;-) die Ungleichung $\bruch{x}{1+x^2} \ > \ \bruch{1}{2}$ auflösen.
Für die Betrachtung für große und kleine $x_$ ist jeweils eine Grenzwertbetrachtung für $x\rightarrow [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] bzw. [mm] $x\rightarrow [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] erforderlich.
Klammere dafür mal in Zähler und Nenner die höchste $x_$-Potenz (also: [mm] $x^2$ [/mm] ) aus und kürze das [mm] $x^2$ [/mm] ...
Für den Nachweis der globalen Extrema hätte man auch zunächst diese Grenzbetrachtungen führen und dafür verwenden können.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Do 04.05.2006 | | Autor: | Susella |
Hmm okay, bin jetzt bei der Ungleichung fast fertig aber weißnicht weiter :
x-1/2x² > 1/2
wie form ich das jetzt am Besten um ??Denkfehler... Müsste es außerdem nicht größer-gleich heißen ???
LG Susi
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Hallo Susella!
Bringe doch mal alles auf eine Seite der Ungleichung und wende anschließend (wenn die Normalform vorliegt) die  p/q-Formel an.
Existieren hier Lösungen?
Wenn Du mit der Variante [mm] $\ge$ [/mm] arbeitest, darf natürlich als einzige Lösung der x-Wert unseres Hochpunktes $H_$ herauskommen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 04.05.2006 | | Autor: | Susella |
okay , nach auflösen der p,q-Formel hab ich nun zwei werte : x= 2 und y= 0
D.h. es existiert kein globales Maximum , da die Ungleichung lösbar ist.
Richitg ;)
Gruß
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Hallo Susella!
> okay , nach auflösen der p,q-Formel hab ich nun zwei werte :
> x= 2 und y= 0
Was hast Du denn hier gerechnet? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Ich erhalte lediglich als (doppelte) Lösung: $x \ = \ 1$ . Und eine nach oben geöffnete Parabel ist nur negativ (sprich: unterhalb der x-Achse) für die Werte zwischen den Nullstellen.
Dieser "Bereich" ist in unserem Falle nicht exstent [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Ungleichung niemals erfüllt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $H_$ ist globales Maximum.
Analog funktioniert es mit dem Tiefpunkt ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 04.05.2006 | | Autor: | Susella |
So nun Teil 2 : habe
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x/(1+x²) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1/x) / (1/x² +1) ---> wenn das x² rausgekürzt wird.
So x--> + unendlich -->geht gegen 0
x--> - unendlich --> geht auch gegen 0
und nun ??
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Hallo Susella!
> x--> + unendlich -->geht gegen 0
> x--> - unendlich --> geht auch gegen 0
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> und nun ??
Nix, das war's ...  Das ist das Ergebnis.
Damit kannst Du nun den Graph skizzieren (natürlich auch mit dem Hochpunkt, dem Tiefpunkt und den beiden Wendepunkten).
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Do 04.05.2006 | | Autor: | Susella |
Na wunderbar : ) .. War zwar ne schwere Geburt mit mir aber trotzdem vielen Dank für deine Hilfe ^^ .. jetzt muss ich den Quatsch ja nur noch auf Papier bringen +g+
Einen sonnigen Nachmittag dir und lass dein schlaues Köpfchen mal ein bisschen ausqualmen +g+
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Do 04.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Susella!
> Einen sonnigen Nachmittag dir und lass dein schlaues
> Köpfchen mal ein bisschen ausqualmen +g+
... ich bin doch Nichtraucher !
Gruß vom
Roadrunner
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