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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 So 14.09.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Die zehnte Einheitswurzel [mm] \zeta [/mm] := [mm] exp(\frac{2 \pi i}{10}) [/mm] erfüllt 0 = [mm] \zeta^5 [/mm] + 1 = [mm] (\zeta [/mm] + [mm] 1)(\zeta^4 [/mm] - [mm] \zeta^3 [/mm] + [mm] \zeta^2 [/mm] - [mm] \zeta [/mm] +1), wegen [mm] \zeta+1 \not= [/mm] 0, also auch 0 = [mm] \zeta^4 [/mm] - [mm] \zeta^3 [/mm] + [mm] \zeta^2 [/mm] - [mm] \zeta [/mm] + 1. Natürlich ist außerdem [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1} [/mm] = [mm] 2cos(\frac{2 \pi}{10}).
[/mm]
Leite daraus eine Gleichung [mm] x^2 [/mm] + px + q = 0 mit p,q [mm] \in \mathb{Q} [/mm] ab, die von 2 [mm] cos(\frac{2 \pi }{10}) [/mm] erfüllt wird. |
Hallo liebe Algebra-Freunde,
mein Ansatz wäre nun:
[mm] (\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1})^2 [/mm] + p [mm] (\zeta [/mm] + [mm] \zeta^{-1}) [/mm] + q = 0
[mm] \gdw \zeta^2 [/mm] + 2 [mm] \zeta \zeta^{-1}+ \zeta^{-2} [/mm] + [mm] p\zeta [/mm] + [mm] p\zeta^{-1} [/mm] + q = 0
[mm] \gdw \zeta^2 [/mm] + 2 + [mm] \zeta^{-2} [/mm] + [mm] p\zeta [/mm] + [mm] p\zeta^{-1} [/mm] + q = 0
Wie kann ich aber nun die Information von oben einbauen, um p und q zu finden?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 14.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Die zehnte Einheitswurzel [mm]\zeta[/mm] := [mm]exp(\frac{2 \pi i}{10})[/mm]
> erfüllt 0 = [mm]\zeta^5[/mm] + 1 = [mm](\zeta[/mm] + [mm]1)(\zeta^4[/mm] - [mm]\zeta^3[/mm] +
> [mm]\zeta^2[/mm] - [mm]\zeta[/mm] +1), wegen [mm]\zeta+1 \not=[/mm] 0, also auch 0 =
> [mm]\zeta^4[/mm] - [mm]\zeta^3[/mm] + [mm]\zeta^2[/mm] - [mm]\zeta[/mm] + 1. Natürlich ist
> außerdem [mm]\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1}[/mm] = [mm]2cos(\frac{2 \pi}{10}).[/mm]
>
> Leite daraus eine Gleichung [mm]x^2[/mm] + px + q = 0 mit p,q [mm]\in \mathb{Q}[/mm]
> ab, die von 2 [mm]cos(\frac{2 \pi }{10})[/mm] erfüllt wird.
> Hallo liebe Algebra-Freunde,
> mein Ansatz wäre nun:
> [mm](\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1})^2[/mm] + p [mm](\zeta[/mm] + [mm]\zeta^{-1})[/mm] + q = 0
>
> [mm]\gdw \zeta^2[/mm] + 2 [mm]\zeta \zeta^{-1}+ \zeta^{-2}[/mm] + [mm]p\zeta[/mm] +
> [mm]p\zeta^{-1}[/mm] + q = 0
>
> [mm]\gdw \zeta^2[/mm] + 2 + [mm]\zeta^{-2}[/mm] + [mm]p\zeta[/mm] + [mm]p\zeta^{-1}[/mm] + q =
> 0
>
> Wie kann ich aber nun die Information von oben einbauen, um
> p und q zu finden?
Wenn [mm] $\xi:=\zeta+\zeta^{-1}$ [/mm] eine Nullstelle des Polynoms [mm]p(x)[/mm] sein soll, dann kannst du doch [mm]p[/mm] in Linearfaktoren zerlegen: [mm] $$p(x)=(x-\xi)(x-\chi)$$Dabei [/mm] ist [mm] $\chi$ [/mm] die andere Nullstelle, die du nun noch so auswählen musst, dass nach ausmultiplizieren [mm] $p,q\in\IQ$ [/mm] sind.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 14.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Ich habe es nun so vesucht:
p(x) = [mm] (x-\xi)(x-\tau)
[/mm]
= [mm] x^2-(\tau [/mm] + [mm] 2cos(\frac{2\pi}{10}))x [/mm] + 2 [mm] cos(\frac{2\pi}{10}) \tau
[/mm]
D.h. [mm] p=\tau [/mm] + 2 [mm] cos(\frac{2\pi}{10}) [/mm] und q = 2 [mm] cos(\frac{2\pi}{10}) \tau [/mm] ??
Aber wie kann ich jetzt einfach eine zweite Nullstelle [mm] \tau [/mm] finden, so dass p und q rational sind? Nur probieren? Und für was sind die ganzen anderen Angaben in der Aufgabe?
Viele Grüße & vielen Dank
Riley
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Hallo Riley,
> Hallo,
> danke für die schnelle Antwort. Ich habe es nun so
> vesucht:
> p(x) = [mm](x-\xi)(x-\tau)[/mm]
> = [mm]x^2-(\tau[/mm] + [mm]2cos(\frac{2\pi}{10}))x[/mm] + 2
> [mm]cos(\frac{2\pi}{10}) \tau[/mm]
>
> D.h. [mm]p=\tau[/mm] + 2 [mm]cos(\frac{2\pi}{10})[/mm] und q = 2
> [mm]cos(\frac{2\pi}{10}) \tau[/mm] ??
> Aber wie kann ich jetzt einfach eine zweite Nullstelle
> [mm]\tau[/mm] finden, so dass p und q rational sind? Nur probieren?
> Und für was sind die ganzen anderen Angaben in der
> Aufgabe?
Gehen wir von der Gleichung
[mm]\zeta^{4}-\zeta^{3}+\zeta^{2}-\zeta+1=0[/mm]
Es fällt auf, daß dieses Polynom symmetrisch ist:
[mm]\blue{1}*\zeta^{4}+\green{\left(-1\right)}\zeta^{3}+\zeta^{2}+\green{\left(-1\right)}\zeta+\blue{1}=0[/mm]
Da [mm]\zeta \not= 0[/mm] können wir hier durch [mm]\zeta^{2}[/mm] dividieren und erhalten:
[mm]\blue{1}*\zeta^{2}+\green{\left(-1\right)}\zeta+1+\green{\left(-1\right)}\zeta^{-1}+\blue{1}\zeta^{-2}=0[/mm]
Nun fassen wir zusammen:
[mm]\blue{1}*\left(\zeta^{2}+\zeta^{-2}\right)+\green{\left(-1\right)}\left(\zeta+\zeta^{-1}\right)+1=0[/mm]
Durch die Substitution [mm]x=\zeta+\zeta^{-1}[/mm] erhalten wir ein quadratisches Polynom in x.
>
> Viele Grüße & vielen Dank
> Riley
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Mathepower,
vielen Dank für deine schnelle Lösung! Warum ist es wichtig, dass das Polynom symmetrisch ist? Symmetrisch bedeutet doch, dass man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann ohne das Polynom zu verändern, oder?? ... das ist mir hier noch nicht so ganz klar... vielleicht kannst du dazu bitte noch etwas schreiben? Das wäre super 
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley,
> Hallo Mathepower,
> vielen Dank für deine schnelle Lösung! Warum ist es
> wichtig, dass das Polynom symmetrisch ist? Symmetrisch
> bedeutet doch, dass man die Unbestimmten untereinander
> vertauschen kann ohne das Polynom zu verändern, oder?? ...
Ein Polynom
[mm]a_{n}*\zeta^{n} + a_{n-1}*\zeta^{n-1}+ \ \dots \ + a_{1}*\zeta +a_{0}[/mm]
ist symmetrisch, wenn
[mm]a_{k}=a_{n-k}, 0 \le k \le n-k[/mm]
Für n=4 also:
[mm]a_{0}=a_{4}, \ a_{1}=a_{3}, \ a_{2}=a_{2}[/mm]
Um das Polynom 4. ten Grades auf ein quadratisches Polynom zurückführen zu können,
ist es wichtig, daß das Polynom 4. Grades symmetrisch ist.
> das ist mir hier noch nicht so ganz klar... vielleicht
> kannst du dazu bitte noch etwas schreiben? Das wäre super
>
> Viele Grüße,
> Riley
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Mathepower,
ok, vielen Dank für die Erklärung, jetzt ists klar!
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley,
erlaube mir zunächst einmal, x zu schreiben statt [mm] \zeta.
[/mm]
Dann haben wir also die beiden Gleichungen
(1) [mm] x^4-x^3+x^2-x+1=0
[/mm]
(2) [mm] x+\bruch{1}{x} [/mm] = u
mit [mm] u=2*cos(\pi/5) [/mm] und sollen nun daraus eine in u quadratische
Gleichung machen, welche das x nicht mehr enthält.
Erweitert man Gleichung (2) mit x , so hat man:
(3) [mm] x^2+1=u*x [/mm] bzw. [mm] x^2=u*x-1
[/mm]
Die Gleichung (1) kann man schreiben als:
(4) [mm] (x^2+1)*(x^2-x)+1=0
[/mm]
Wegen (3) folgt daraus
(5) [mm] u*x*(x^2-x)+1=0
[/mm]
Nun kann man die Beziehung (3) weiter benützen,
um die höheren Potenzen von x durch niedrigere zu
ersetzen, und, simsalabim, auf einmal kann man alle
verbliebenen x wegkürzen und hat die gewünschte
Gleichung des Goldenen Schnitts.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 14.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
vielen Dank für deine schöne übersichtliche Antwort!
Ich steh nur grad noch etwas auf dem Schlauch, wie ich nun weiter umformen/einsetzen muss. Denn wenn ich (3) für (5) benutze, dann kann macht das ja keinen Sinn - oder muss ich das nun in (1) einsetzen um die höheren Potenzen wegzubekommen. War das so gemeint?
Viele Grüße & vielen Dank,
Riley
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> Hallo,
> vielen Dank für deine schöne übersichtliche Antwort!
>
> Ich steh nur grad noch etwas auf dem Schlauch, wie ich nun
> weiter umformen/einsetzen muss. Denn wenn ich (3) für (5)
> benutze, dann kann macht das ja keinen Sinn - oder muss ich
> das nun in (1) einsetzen um die höheren Potenzen
> wegzubekommen. War das so gemeint?
>
> Viele Grüße & vielen Dank,
> Riley
Gut; ich setze die angefangene Umformung fort:
(1) [mm] x^4-x^3+x^2-x+1=0 [/mm]
(2) [mm] x+\bruch{1}{x} [/mm] = u
Erweitert man Gleichung (2) mit x , so hat man:
(3) [mm] x^2+1=u*x [/mm] bzw. [mm] x^2=u*x-1 [/mm]
Die Gleichung (1) kann man schreiben als:
(4) [mm] (x^2+1)*(x^2-x)+1=0 [/mm]
Wegen (3) folgt daraus
(5) [mm] u*x*(x^2-x)+1=0
[/mm]
Das [mm] x^2 [/mm] nach (3) durch [m]\ u*x-1[/m] ersetzen ergibt
(6) [m]\ u*x*(u*x-1-x)+1=0 [/m]
ausmultipliziert:
(7) [mm] u^2*x^2-u*x-u*x^2+1=0
[/mm]
Nochmals (3) in umgekehrter Richtung anwenden:
(8) [mm] u^2*x^2-(x^2+1)-u*x^2+1=0
[/mm]
zusammengefasst:
(9) [mm] u^2*x^2-x^2-u*x^2=0
[/mm]
durch [mm] x^2 [/mm] dividiert und geordnet:
(10) [mm] u^2-u-1=0 [/mm]
Die positive Lösung dieser Gleichung ist [mm] u_1=\bruch{\wurzel{5}+1}{2}
[/mm]
und also
[m]\ cos(\bruch{2*\pi}{10})\ =\ cos(36°)\ =\ \bruch{u_1}{2}\ =\ \bruch{\wurzel{5}+1}{4}[/m]
Da man eine Strecke der Länge [mm] \wurzel{5} [/mm] mittels Pythagoras und
deshalb auch die Strecke cos(36°) leicht mit Zirkel und
Lineal konstruieren kann, ist auch das regelmässige Zehneck
und das regelmässige Fünfeck ZL-konstruierbar. Darum ging es
ja wohl nebenbei bei dem ganzen Thema.
LG ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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Es geht auch kürzer, wie MathePower gemeldet hat ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort, jetzt habe ich es verstanden! Ich hatte nicht gesehen, wo ich was genau einsetzen gemusst hätte.
Eine kleine Rückfrage hab ich aber noch. Warum gilt das hier:
> [m]\ cos(\bruch{2*\pi}{10})\ =\ cos(36°)\ =\ \bruch{u_1}{2}\ =\ \bruch{\wurzel{5}+1}{4}[/m]
Ist cos(36°) so ein Wert den man kennen sollte, oder wie hast du das gewusst um diese Gleichungskette hinzuschreiben...??
Ja, danke für die Erklärung mit der ZL-Konstruktion, das ist gut
Viele Grüße,
Riley
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> Hallo,
> vielen Dank für deine ausführliche Antwort, jetzt habe ich
> es verstanden! Ich hatte nicht gesehen, wo ich was genau
> einsetzen gemusst hätte.
> Eine kleine Rückfrage hab ich aber noch. Warum gilt das
> hier:
>
> > [m]\ cos(\bruch{2*\pi}{10})\ =\ cos(36°)\ =\ \bruch{u_1}{2}\ =\ \bruch{\wurzel{5}+1}{4}[/m]
Aus der Rechnung geht ja hervor, dass [mm] u=cos(\bruch{2*\pi}{10}) [/mm] eine
Lösung der entstandenen quadratischen Gleichung
[mm] u^2-u-1=0
[/mm]
sein muss - natürlich die positive. Und die quadratische
Gleichung kann man ja leicht lösen !
> Ist cos(36°) so ein Wert den man kennen sollte,
sicher nicht so wichtig wie die Werte für
30°, 45°, 60° - aber im Zusammenhang
mit der Konstruktion des regelmässigen
Fünfecks interessant (es kommt [mm] \wurzel{5} [/mm] vor;
analog kommt beim regelmässigen Dreieck [mm] \wurzel{3}
[/mm]
vor und beim 17-Eck die [mm] \wurzel{17} [/mm] !)
> oder wie
> hast du das gewusst um diese Gleichungskette
> hinzuschreiben...??
Das habe ich nicht einfach gewusst, sondern
ein paar Umformungen angestellt, ausgehend
von derselben Idee, die auch MathePower
angegeben hat:
Wenn man [mm] u=x+\bruch{1}{x} [/mm] setzt, ist [mm] u^2=x^2+2+\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Dann habe ich versucht, das Polynom in x durch
eines in der Variablen u umzusetzen. Dummerweise
habe ich dabei nicht von vorneweg durch [mm] x^2 [/mm] dividiert.
> Ja, danke für die Erklärung mit der ZL-Konstruktion, das
> ist gut
>
> Viele Grüße,
> Riley
Schönen Abend !
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Al-Chwarizmi,
ahso, okay, besten Dank! Das mit den Ecken und Wurzeln ist wirklich interessant...
Danke, dir auch einen schönen Abend!
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
sorry - ich hab doch noch eine Frage. Und zwar kann man angeblich in ähnlicher Weise eine kubische Gleichung [mm] x^3 [/mm] + [mm] ax^2 [/mm] + bx + c = 0 mit a,b,c [mm] \in [/mm] Q finden, die von 2 [mm] cos(\frac{2 \pi}{7}) [/mm] erfüllt wird.
Ich hab das nun so versucht:
Die 7.Einheitswurzel ist also gegeben durch [mm] \xi:= e^{2 \pi i / 7} [/mm] und es gilt [mm] \xi [/mm] + [mm] \xi^{-1} [/mm] = 2 [mm] cos(\frac{2 \pi}{7}). [/mm] Das stimmt, oder?
Wenn ich nun die Gleichung durch [mm] \xi [/mm] teile, erhalte ich
[mm] \xi^3 [/mm] - [mm] \xi^2 [/mm] + [mm] \xi [/mm] -1 + [mm] \xi^{-1} [/mm] = 0.
Damit komm ich aber nun nicht weiter, geht es auf diesem Wege wirklich nicht?
Viele Grüße,
Riley
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> Hallo,
> sorry - ich hab doch noch eine Frage. Und zwar kann man
> angeblich in ähnlicher Weise eine kubische Gleichung [mm]x^3[/mm] +
> [mm]ax^2[/mm] + bx + c = 0 mit a,b,c [mm]\in[/mm] Q finden, die von 2
> [mm]cos(\frac{2 \pi}{7})[/mm] erfüllt wird.
>
> Ich hab das nun so versucht:
> Die 7.Einheitswurzel ist also gegeben durch [mm]\xi:= e^{2 \pi i / 7}[/mm]
> und es gilt [mm]\xi[/mm] + [mm]\xi^{-1}[/mm] = 2 [mm]cos(\frac{2 \pi}{7}).[/mm] Das
> stimmt, oder?
>
> Wenn ich nun die Gleichung durch [mm]\xi[/mm] teile, erhalte ich
>
> [mm]\xi^3[/mm] - [mm]\xi^2[/mm] + [mm]\xi[/mm] -1 + [mm]\xi^{-1}[/mm] = 0.
dies ist nicht die richtige Gleichung für den Fall n=7 !
> Damit komm ich aber nun nicht weiter, geht es auf diesem
> Wege wirklich nicht?
>
> Viele Grüße,
> Riley
Hallo Riley,
genau das - für das regelmässige Siebeneck - habe
ich gestern Abend auch noch versucht. Die Gleichung
für die siebten Einheitswurzeln ist [mm] x^7-1=0 [/mm] oder
[mm] (x-1)*(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
[/mm]
Die echt komplexen "Wurzeln" sind also die Lösungen
der Gleichung
{1} [mm] x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
[/mm]
Wenn man diese durch [mm] x^3 [/mm] dividiert, hat man:
(2) [mm] x^3+x^2+x+1+x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}=0
[/mm]
Für [mm] u=x+x^{-1} [/mm] gilt:
(3) [mm] u^2=x^2+2+x^{-2}
[/mm]
(4) [mm] u^3=x^3+3x+3x^{-1}+x^{-3}
[/mm]
Die Gleichung (2) kann mittels (2) und (3) in die
kubische Gleichung
(5) [mm] u^3+u^2-2u-1=0
[/mm]
für u überführt werden. Da sich diese Gleichung aber
nicht mittels Quadratwurzeln allein auflösen lässt,
folgt mittelbar, dass das regelmässige 7-Eck nicht
ZL-konstruierbar ist.
LG
(In der ersten Version dieses Artikels war ein Fehler,
den ich nachträglich korrigiert habe)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
vielen lieben Dank nochmal für deine Hilfe - jetzt hab ichs endgültig verstanden! Sehr cool.
Viele Grüße,
Riley
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