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hi,
ich hab folgenden gradienten:
grad(x,y) = [mm] \vektor{2x - 6y - 8 \\ -6x + 8y}
[/mm]
hier soll ich die richtung des steilsten anstiegs und des steilsten abstiegs
mit Punkt (1,2) angeben.
mir ist klar, dass ich den punkt einfach in obiges konstrukt einsetzen muss, um den steilsten anstieg herauszubekommen, aber wie bekomme ich anhand dieses punktes den steilsten abstieg heraus?
kann mir auch jemand vielleicht einen tipp geben, wie ich diese richtungen in so ein koordinatensystem einzeichnen soll?
danke und gruss,
markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Do 22.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Markus!
> hi,
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> ich hab folgenden gradienten:
>
> grad(x,y) = [mm]\vektor{2x - 6y - 8 \\ -6x + 8y}[/mm]
>
> hier soll ich die richtung des steilsten anstiegs und des
> steilsten abstiegs
> mit Punkt (1,2) angeben.
>
> mir ist klar, dass ich den punkt einfach in obiges
> konstrukt einsetzen muss, um den steilsten anstieg
> herauszubekommen, aber wie bekomme ich anhand dieses
> punktes den steilsten abstieg heraus?
Ich bin mir nicht so ganz sicher, ob ich die Frage und den Gradienten richtig verstehe. Ist es nicht so, dass du den "Anstieg" (oder ggf. auch "Abstieg") im Punkt (1,2) bekommst, wenn du den Punkt einfach einsetzt? Und den steilsten Anstieg in einem Punkt zu berechnen, macht das denn Sinn? Ich würde sagen, man kann den steilsten Anstieg der Funktion berechnen, die zu diesem Gradienten gehört. Aber so wie du es haben möchtest? Mmh... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") (wie gesagt, es kann sein, dass ich hier etwas noch nicht verstanden habe...)
> kann mir auch jemand vielleicht einen tipp geben, wie ich
> diese richtungen in so ein koordinatensystem einzeichnen
> soll?
Also ich glaube, Vektorfelder (und der Gradient ist ja ein Vektorfeld) zeichnet man so ein:
Bei einem Vektorfeld wird ja jedem Vektor wieder ein Vektor zugeordnet. Im [mm] \IR^2 [/mm] suchst du dann zuerst den Punkt (x,y), den du "in die Funktion eingesetzt hast" (also hier (1,2)) und von diesem Punkt aus (also am besten machst du da einen Punkt mit dem Bleistift hin  ) zeichnest du dann den Vektor, den du mit dem Gradienten berechnet hast. Verstehst du, wie ich das meine?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Do 22.09.2005 | | Autor: | koelnkalk |
hallo bastiane,
also so wie ich das verstanden habe, geht es dabei nicht um den steilsten anstieg/abstieg der funktion die zum gradienten gehört, sondern um die richtung des steilsten anstiegs/absteigs zum besagten punkt.
meine professorin hat in den gradienten lediglich die 1. x,y ableitung eingesetzt und kommentarlos als lösung
steilster anstieg:
nabla f(x,y) = 10 [mm] \vektor{-1.8 \\ 1}
[/mm]
steilster abstieg:
[mm] \vektor{1.8 \\ -1}
[/mm]
angegeben.
wie man sieht ist im steilsten anstieg einfach der punkt eingesetzt worden.
beim abstieg bin ich aber ratlos :-(
hier mal die ursprungsfunktion:
f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] - 6xy - 8x + [mm] 4y^2
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 22.09.2005 | | Autor: | koelnkalk |
wer lesen kann...
die hat einfach ein - vor den vektor des steilsten anstiegs geschrieben.
hab in einer anderen quelle gelesen, dass man das halt so macht um den abstieg einer funktion in einem bestimmten punkt herauszubekommen.
frag mich dann nur, wo die 10 abgeblieben ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Do 22.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
soll ich dir wirklich auf dem Niveau antworten? also änder bitte deine Biographie, sonst ist die nächst antwort, wart noch 10 Jahre, dann erklär ichs dir!
Die Funktion stellst du dir am besten als ein Gebirge vor, f(x,y) gibt die Höhe des Gebirges über jedem Punkt der x,y-Ebene an. Veranschaulicht wird das durch Höhenlinien, oder Niveaulinien. df/dx gibt dann an,wie stark sich die Höhe in x- Richtg ändert, df/dy entsprechend. man zeigt dass der Grd dann die Richtung des steilsten anstiegs gibt.(kürzest Verbindung zw. benachbarten Höhenlinien) Im Höhenlinienbild also senkrecht zu den Höhenlinien gehen, dann kommst du den Berg am direktesten rauf bzw. runter. Wenn du im Gebirge mal Wege geplant hast mit guten Karten, lernst du schnell mit Gradienten umzugehen!
Und wenn du an einem Hang stehst,ist der steilste Anstieg und der steilste Abfall immer senkrecht zu den Höhenlinien, also entgegengesetzt gleich.
Mal dir mal die Höhenlinien von nem graden oder schiefen Kegel auf,also z. Bsp f(x,y)=x{2}+y{2}-100 guck den Gradienten an in irgendnem Punkt und stell dir den Kegel vor, da siehst du, dass es gleich steil rauf wie runter geht:
also bei dir Richtung ( -18,6) bzw (-3,1) steilster Anstieg, (3,-1) steilster Abstieg. senkrecht dazu kein Anstieg!
Gruss leduart
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