gradienten berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie für die Funktion [mm] \f [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR, \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto x_{1} x_{2} [/mm] die gradienten bzgl. der beiden Skalarprodukte:
a) [mm] <\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] , [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}}> [/mm] := [mm] x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}
[/mm]
b) [mm] (\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] , [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}}):= x_{1} y_{1}+2x_{2} y_{2} [/mm] |
also bei a) hab ich ja meines wissens das standradskalarprod. und kann somit den gradienten als vektor der partiellen abl. auffassen:
grad f(x)= [mm] \vektor{x_{2} \\ x_{1}}
[/mm]
aber bei b) bin ich mir nicht so ganz im klaren wie ich das veränderte skalarpr. mit einbauen soll. meine (vermutl. falsche) Lsg: [mm] \vektor{x_{2} \\ 2x_{1}}
[/mm]
kann mir jemand bitte mal erklären wie der gradient mit dem skalarprodukt zusammenhängt?danke:)
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Hallo!
> Berechnen Sie für die Funktion [mm]\f[/mm] : [mm]\IR^2 \to \IR, \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto x_{1} x_{2}[/mm]
> die gradienten bzgl. der beiden Skalarprodukte:
> a) [mm]<\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] , [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2}}>[/mm] :=
> [mm]x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}[/mm]
> b) [mm](\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] ,
> [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2}}):= x_{1} y_{1}+2x_{2} y_{2}[/mm]
> also
> bei a) hab ich ja meines wissens das standradskalarprod.
Gibt es noch ein anderes?
> und kann somit den gradienten als vektor der partiellen
> abl. auffassen:
> grad f(x)= [mm]\vektor{x_{2} \\ x_{1}}[/mm]
> aber bei b) bin ich
> mir nicht so ganz im klaren wie ich das veränderte
> skalarpr.
Hier weiss ich nicht was du meinst.
mit einbauen soll. meine (vermutl. falsche) Lsg:
> [mm]\vektor{x_{2} \\ 2x_{1}}[/mm]
> kann mir jemand bitte mal
> erklären wie der gradient mit dem skalarprodukt
> zusammenhängt?danke:)
Im Allgemeinen gilt:
Ist f [mm] \IR^{3}\to\IR [/mm] ein Skalarfeld, so heißt
[mm] grad{f}:=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}},\bruch{\partial{f}}{\partial{y}},\bruch{\partial{f}}{\partial{z}}} [/mm] Gradient von f.
Weiter ist
[mm] grad{f}:\IR^{3}\to\IR^{3} [/mm] ein Vektorfeld.
Gruß, Marcel
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also tut mir jetzt leid, aber deine antwort hab ich jetzt nicht ganz verstanden. könntest du vielleicht einmal die berechnung des grsdienten auf dieses beispiel beziehen und mir sagen wie das mit den beiden skalarprodukten zusammenhängt? stimmen denn meine lösungen?
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Hallo!
> also tut mir jetzt leid, aber deine antwort hab ich jetzt
> nicht ganz verstanden.
Man definiert: [mm] \nabla=(\bruch{\partial}{\partial{x}}\bruch{\partial}{\partial{y}}\bruch{\partial}{\partial{z}})
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] ist ein formaler Differentialoperator, mit dem sich der Gradient in einheitlicher Form schreiben lässt, welcher als Vektor aufzufassen ist.
[mm] \nabla{f}=(\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}\bruch{\partial{f}}{\partial{z}})=grad{f}=Produkt [/mm] aus [mm] \nabla [/mm] und f (kein Skalarprodukt!)
Du sollst also das von dir berechnete Skalarfeld partiell in die entsprechende Anzahl von Richtungen ableiten.
> könntest du vielleicht einmal die
> berechnung des grsdienten auf dieses beispiel beziehen
Versuche es mal alleine.
> und
> mir sagen wie das mit den beiden skalarprodukten
> zusammenhängt? stimmen denn meine lösungen?
Gruß, Marcel
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