grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | berechnen sie folgenden grenzwert:
[mm]\limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{1\cdot2} + \bruch{1}{2\cdot3} +...+\bruch{1}{n(n+1)} ) [/mm]
hinweis:
[mm] \bruch{1}{n(n+1)} = \bruch{1}{n} - \bruch{1}{n(n+1)} [/mm]
lösung:
nach dem hinweis ergibt sich:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} - \bruch{1}{k(k+1)} = 1 - \bruch{1}{n(n+1)} [/mm]
also konvergiert die folge gegen 1 |
also das ist mein erster post. ich versuche gerade mein letztes semster aufzuarbeiten und hab die aufgabe und lösungsskizze gepostet. leider raff ich nicht, wie folgender schritt vollzogen wird:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} - \bruch{1}{k(k+1)} = 1 - \bruch{1}{n(n+1)} [/mm]
ich steh ein wenig auf dem schlauch, wäre wenn mir jemand einen zwischenschritt bieten könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 28.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo,
das ist doch ein Idealfall für die vollständige Induktion, die man bei der Gelegenheit auch gleich mal wiederholen kann!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
Ach ja, fast vergessen: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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danke erst mal. also ich hab jetzt mit volllständiger induktion bewiesen, dass
[mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} - \bruch{1}{k(k+1)} = 1 - \bruch{1}{n(n+1)}[/mm] gilt.
allerdings war mir das ja ohne die lösung nicht bekannt. aus der aufgabe komm ich ja nur darauf, dass
[mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{1}{1\cdot2} + \bruch{1}{2\cdot3} +...+\bruch{1}{n(n+1)} ) = \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} - \bruch{1}{k(k+1)}[/mm]
wie kommt man darauf, dass
[mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} - \bruch{1}{k(k+1)} = 1 - \bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
entspricht, ohne das vorher zu wissen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Di 28.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Es gibt kein allgemeines Rezept - die Mathematiker haben damals Jahre an sowas gearbeitet um auf so ein Ergebnis zu kommen. Man kann sich höchstens ein Paar Elementar Tatsachen überlegen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k(k+1)})=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+1} [/mm]
und dann ein Paar Überlegungen über die harmonische Reihe ins Spiel bringen. Viel mehr könnte man im Allgemeinen nicht machen.
Gruß,
dormant
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dann ist das wohl, was mein prof als "ein gefühl für die mathematik haben" bezeichnet... danke recht herzlich
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