grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hi ich hätte da ne grenzwertberechnung:
lim n --> unendlich : [mm] n*e^{x^{n}}
[/mm]
wenn ich das zu [mm] \bruch{e^{x^{n}}}{1/n}
[/mm]
schreibe bringt die regel von lHospital auch nichts, weil die potenz im nenner immer kleiner wird ... n^-2, n^-3 etc.
und oben das e stehen bleibt, was ist denn hier der trick?
einfach mal spekulieren, dass die exp funktion schneller gegen null konvergiert, als der lineare faktor? ist iwie nicht befriedigend
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi ich hätte da ne grenzwertberechnung:
>
> lim n --> unendlich : [mm]n*e^{x^{n}}[/mm]
> wenn ich das zu [mm]\bruch{e^{x^{n}}}{1/n}[/mm]
> schreibe bringt die regel von lHospital auch nichts, weil
> die potenz im nenner immer kleiner wird ... n^-2, n^-3
> etc.
> und oben das e stehen bleibt, was ist denn hier der
> trick?
>
> einfach mal spekulieren, dass die exp funktion schneller
> gegen null konvergiert, als der lineare faktor? ist iwie
> nicht befriedigend
> mfg
vorbemerkt:
Hospital geht in den Fällen [mm] "$\frac{0}{0}$" [/mm] und [mm] "$\pm\frac{\infty}{\infty}$".
[/mm]
Hier ist $x$ fest (wobei Du dazuschreiben solltest: $x [mm] \in [/mm] ...$???) und Du versuchst nun, die Funktion [mm] $g_x: \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch
[mm] $g_x(y):=y*\exp(x^y)$ [/mm] ($y [mm] \in \IR$) [/mm]
zu betrachten [mm] ($\exp(r):=e^r$). [/mm]
Abgesehen davon, dass Du dann wohl umschreiben solltest:
[mm] $g_x(y)=\frac{y}{\frac{1}{\exp(x^y)}}$
[/mm]
werden wir hier allerdings auf ein Problem stoßen, wenn $x < 0$, denn je nach $y$ ist dann der Ausdruck [mm] $x^{y}$ [/mm] nicht (in [mm] $\IR$) [/mm] definiert (Beispiel: $x=-1$ und [mm] $y=\frac{1}{2}$).
[/mm]
Also die Voraussetzungen für Hospital sind hier,
jedenfalls wenn $x < 0$ ist, nicht gegeben; aber für $x [mm] \ge [/mm] 0$ können wir uns das ganze mal angucken und dann mit Fallunterscheidungen überlegen:
Nun schauen wir uns das obige nochmal an:
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt jedenfalls für jedes $n$, dass [mm] $x^n \ge [/mm] 0$, was (für $x [mm] \ge [/mm] 0$) zur Folge hat, dass
[mm] $(\*)$ $n*\exp(x^n) \ge n*\exp(0)=n \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] also
[mm] $n*\exp(x^n) \to \infty$ [/mm] gilt für jedes feste $x [mm] \ge [/mm] 0$.
(Zu [mm] $(\*)$: [/mm] Beachte: [mm] $\exp(.)$ [/mm] ist streng monoton wachsend auf [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\exp(0)=1$.)
[/mm]
Diese Fall ist eigentlich recht uninteressant. Was ist nun bei $x < 0$?
Für $x=-1$ ist klar, dass $n [mm] *\exp((-1)^n) \to \infty$. [/mm] (Warum?).
Für $-1 < x [mm] \le [/mm] 0$ strebt wieder [mm] $x^n \to [/mm] 0$. Was ist die Konsequenz davon?
(Wie kann man das formal begründen? Tipp:
Es gibt ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt: [mm] $\frac{1}{2} \le \exp(x^n)$.)
[/mm]
Interessant wird also eigentlich erst der Fall $x < -1$. Für gerade $n=2m$ (mit einem $m [mm] \in \IN$) [/mm] ist dann aber [mm] $x^n=(x^2)^m [/mm] >1$, also:
[mm] $n*\exp(x^n)=2m*\exp((x^2)^m) \to \infty$ [/mm] bei: $n$ gerade und $n [mm] \to \infty$ [/mm] (bzw. $n=2m$ mit $m [mm] \to \infty$).
[/mm]
Kniffliger ist der Fall: $n$ ungerade. Hier ist für jedes ungerade $n$ dann [mm] $x^n<0$. [/mm] Für ungerades $n=2m-1$ (mit einem $m [mm] \in \IN$) [/mm] gilt dann:
[mm] $n*\exp(x^n)=(2m-1)\exp(-|x|^{2m-1})$ [/mm] und hier dann $n [mm] \to \infty \gdw [/mm] m [mm] \to \infty$.
[/mm]
Und hier kommt nun Hospital doch noch ins Spiel:
Setze [mm] $h_x(y):=\frac{2y-1}{\exp(|x|^{2y-1})}$
[/mm]
Hierbei gilt $2y-1 [mm] \to \infty$ [/mm] bei $y [mm] \to \infty$, [/mm] und auch [mm] $\exp(|x|^{2y-1}) \to \infty$ [/mm] bei $y [mm] \to \infty$ [/mm] (beachte: $x < -1 [mm] \Rightarrow [/mm] |x| > 1 [mm] \Rightarrow |x|^{2y-1} \to \infty$ [/mm] bei $y [mm] \to \intfy$ [/mm] und [mm] $\exp(r) \to \infty$ [/mm] bei $r [mm] \to \infty$).
[/mm]
Hier liegt also der Fall [mm] "$\frac{\infty}{\infty}$" [/mm] vor, und mit Hospital solltest Du dann als Resultat erhalten:
[mm] $n*\exp(x^n) \to [/mm] 0$ bei ungeradem $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Also Ergebnis sollte sein:
[mm] $n*\exp(x^n) \to \begin{cases} \infty, & \mbox{für jedes feste } x \ge -1 \\ \mbox{divergiert für jedes feste } x < -1 \end{cases}$.
[/mm]
Die Divergenz für den Fall $x < -1$ begründest Du dann so:
Für $x < -1$ gilt
[mm] $n*\exp(x^n) \to \begin{cases} \infty, & \mbox{für } n \mbox{ gerade mit } n \to \infty \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade mit } n \to \infty \end{cases}$
[/mm]
(bzw:
[mm] $n*\exp(x^n)= \begin{cases} 2m*\exp((x^2)^m) \to \infty, & \mbox{für } m \to \infty \\ (2m-1)*\exp(-|x|^{2m-1}) \to 0, & \mbox{für } m \to \infty \end{cases} [/mm] $ )
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hi marcel tut mir leid dass es soviel arbeit war, aber ich hab mich total verschreiben was ich gemeint habe war
[mm] n*e^{-a*n^2} [/mm] mit a reele zahl. und n gegen unendlich
sry ich hab da total was falsches hingeschrieben
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi marcel tut mir leid dass es soviel arbeit war, aber ich
> hab mich total verschreiben was ich gemeint habe war
> [mm]n*e^{-a*n^2}[/mm] mit a reele zahl. und n gegen unendlich
> sry ich hab da total was falsches hingeschrieben
okay. Hier gilt, dass im Falle $a [mm] \le [/mm] 0$ dann [mm] $n*\exp(-a*n^2) \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Ist Dir das klar?
Im Fall $a > 0$:
Betrachte [mm] $g_a: \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch
[mm] $g_a(x):=\frac{x}{\exp(a*x^2)}$ [/mm]
Dann solltest Du mit Hospital (Fall [mm] "$\frac{\infty}{\infty}$") [/mm] im Falle $a > 0$ das Resultat erhalten:
[mm] $n*\exp(-a*n^2) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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