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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:34 Di 11.11.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | zeige lim [mm] \bruch{100^n}{n!}=0 [/mm] |
ich dachte, ich könnte das ganze schreiben als lim [mm] \bruch{100}{n} *\bruch{100}{n-1}*.....*\bruch{100}{2} *\bruch{100}{1}
[/mm]
und dann wär der erste faktor ja eine nullfolge, und damit konvergiert das ganze produkt gegen 0. wärs das schon??
oder muss ich auch noch zeigen, dass [mm] \bruch{100}{n} [/mm] gegen 0 geht? wenn ja, wie?
gruß und dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Di 11.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Bekanntlich konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
absolut in jedem x [mm] \in \IR. [/mm] (Exponentialfunktion). Also ist die Folge der Reihenglieder [mm] (\bruch{x^n}{n!}) [/mm] eine Nullfolge.
FRED
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> zeige lim [mm]\bruch{100^n}{n!}=0[/mm]
> ich dachte, ich könnte das ganze schreiben als lim
> [mm]\bruch{100}{n} *\bruch{100}{n-1}*.....*\bruch{100}{2} *\bruch{100}{1}[/mm]
>
> und dann wär der erste faktor ja eine nullfolge, und damit
> konvergiert das ganze produkt gegen 0. wärs das schon??
> oder muss ich auch noch zeigen, dass [mm]\bruch{100}{n}[/mm] gegen
> 0 geht? wenn ja, wie?
Hallo,
ich denke nicht, daß Du Freds Argument verwenden kannst, denn die Exponentialreihe hattet Ihr ja sicher noch nicht.
Ich habe keinerlei Zweifel, daß die gegebene Reihe gegen 0 konvergiert, aber Deine Argumentation von oben über zeugt mich nicht:
> und dann wär der erste faktor ja eine nullfolge, und damit
> konvergiert das ganze produkt gegen 0.
Was garantiert mir denn, daß das, was hinter dem ersten Faktor steht, nicht gegen [mm] \infty [/mm] geht? Dann hätte man [mm] 0*\infty [/mm] und wüßte nix.
Hierüber solltest Du Dir noch etwas Gedanken machen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Di 11.11.2008 | | Autor: | gigi |
nun ja, im zähler steht immer ne 100 und im nenner eine natürliche zahl, die entweder größer ist als 100 (dann würde der faktor kleiner 1 werden/gegen 0 gehen?) oder der nenner ist kleiner 100- diese faktoren bewegen sich dann zwischen 1 und 100 (n ist ja [mm] \in \IN [/mm] und kann nicht kleiner werden als 1)
ist die richtung für nen beweis ok? wenn ja, wie schreib ichs auf?
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> nun ja, im zähler steht immer ne 100 und im nenner eine
> natürliche zahl, die entweder größer ist als 100 (dann
> würde der faktor kleiner 1 werden/gegen 0 gehen?) oder der
> nenner ist kleiner 100- diese faktoren bewegen sich dann
> zwischen 1 und 100 (n ist ja [mm]\in \IN[/mm] und kann nicht kleiner
> werden als 1)
>
> ist die richtung für nen beweis ok? wenn ja, wie schreib
> ichs auf?
Hallo,
Du könntest erstmal die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=\bruch{100^n}{n!} [/mm] nach oben und unten abschätzen, was Dir für genügend großes n mit oben angedeuteten Überlegungen sinnvoll gelingen kann.
Nun, die untere Schranke ist kein Geheimnis: 0
Nach oben kannst Du durch eine Folge [mm] b_n [/mm] abschätzen, die gegen 0 konvergiert.
Auf [mm] 0
Versuch's mal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Di 11.11.2008 | | Autor: | gigi |
sorry, aber sowas hab ich noch nirgends gesehn und sandwichtheorem kenn ich auch noch nicht (oder unter nem andern namen??)
was meinst du mit [mm] b_n.....
[/mm]
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> sorry, aber sowas hab ich noch nirgends gesehn und
> sandwichtheorem kenn ich auch noch nicht (oder unter nem
> andern namen??)
> was meinst du mit [mm]b_n.....[/mm]
Mit [mm] b_n [/mm] meine ich eine Folge, die Du erst noch finden müßtest , die gegen 0 konvergiert und mit der Du [mm] a_n [/mm] nach oben abschätzen kannst.
Der richtige Name fürs Sandwichtheorem fällt mir grad gar nicht ein. Es geht darum: wenn man drei konvergente Folgen [mm] a_n, b_n c_n [/mm] hat mit L:= lim [mm] a_n=lim c_n [/mm] und [mm] \a_n\le b_n [/mm] le [mm] c_n,
[/mm]
dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=L
[/mm]
Gruß v. Angela
Edit: Ich glaube, es heißt Einschließungssatz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Di 11.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{100^n}{n!}
[/mm]
Für n > 200 ist
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{100}{n+1} [/mm] < 1/2.
Zeige nun mit Induktion:
0< [mm] a_{200+n} [/mm] < [mm] \bruch{a_{200}}{2^n} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
FRED
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