grenzwert von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 13.03.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | man bestimme die grenzwerte folgender reihen:
[mm] \summe_{i=2}^{\infty}\2^{n}\bruch{1-n}{n(n+1)}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{2n+1}{n(n+1)}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{3^n} [/mm] |
good day ^^
also reihen auf konvergenz überprüfen is jetz nicht soo das ding mit den kriterien die's ja gibt, nur die grenzwerte exakt anzugeben macht mir bissle kopfzerbrechen da wir bis dato nie nach nem grenzwert gefragt wurden, nur wie berechnet man diesen bei den reihen?
meistens is dabei der ansatz ja mit teleskopsumme nur kann man das bei denen anwenden?
gr
eumel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Do 13.03.2008 | | Autor: | eumel |
die erste reihe lautet richtig:
[mm] \summe_{i=2}^{\infty}2^{n}\bruch{1-n}{n(n+1)}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Do 13.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
bei Reihen hilft meist folgendes: Zurückführen auf bekannte Reihen. Sobald du irgendetwas mit Fakultät oder ähnlichem hast, dann solltest du nach der e-Reihe, oder cosh sinh und ähnlichen gucken.
EDIT: Zu deiner Korrektur: Guck dir mal das notwendige Kriterium für eine konvergente Reihe an (was muss für die Glieder gelten?)
Hier in deinem Fall würde ich versuchen, die Brüche erstmal aufzusplitten. D.h. oben den Zähler auseinanderziehen und zwei Brüche raus machen. Wenns konvergent ist, dann kannst du dann auch die beiden einzelnen Summen auseinanderziehen und dir die einzelnen Reihen dann mal angucken. Dann nützt es auch, die Partialbruchzerlegung zu können, denn so etwas wie $n(n+1)$ im Nenner ist schon verdächtig...könnte eine Teleskopsumme werden.
Die dritte ist einfach: Geometrische Reihe;)
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Do 13.03.2008 | | Autor: | eumel |
bei der ersten reihe würd ich egtl sagen dass die net konvergiert, da
[mm] 2^{n}(1-n) [/mm] / [mm] (n^2+n) [/mm] keine nullfolge ist laut dem notw. krit.
die zweite is ja ne alternierende nullfolge, hab da mit der p.b.z. folgendes raus: dass [mm] a_{n} [/mm] = (n+1)/n - n/(n+1)
nur die eine summe geht dann in + unendlich, die andere nach -unendlich;
also ich würd schätzen dass die gegen -1 konvergiert aber wie geht man jetz weiter vor? ^^
ich hasse geometrische reihen.... ich vergess immer das die leicht sind und dasset dafür ne formel gibt xD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 13.03.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
es gilt [mm] \bruch{2n+1}{n(n+1)}=\bruch{n+(n+1)}{n(n+1)}=\bruch{n}{n(n+1)}+\bruch{n+1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n}.
[/mm]
Durch den ständigen Vorzeichenwechsel hebt sich jeweils einer der beiden Summanden mit einem der beiden Summanden des Nachfolgeglieds auf.
Es bleibt nur der erste Summand -1 (und der "letzte" Summand des n-ten Gliedes, aber der geht gegen Null).
Deine dritte Reihe ist eine lupenreine geometrische Reihe.
Viele Grüße
Abakus
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