grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Sa 07.02.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | existiert für die folge ein grenzwert,wenn ja welcher?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{2n} [/mm] |
also ich hab das ganze einfach abgeschätzt und komme auf den grenzwert 1.
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] geht gegen 0, also geht das innere der klammer gegen 1 und 1 zum exponenten [mm] \infty [/mm] ist 1, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo simplify!
Das stimmt so nicht! Kennst du folgenden Grenzwert:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$$
[/mm]
Damit kannst Du Deinen gesuchten Grenzwert ermitteln mittels Umformung und  Grenzwertsatz:
[mm] $$\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{2n} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+n} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 07.02.2009 | | Autor: | simplify |
ja ok, stimmt. aber das ändert doch nichts an dem grenzwert 1,oder? also egal was ich da umforme,komme ich auf 1.
rausgefunden habe ich ,dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] = e ,aber warum denn?
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Hallo simplify,
> ja ok, stimmt. aber das ändert doch nichts an dem grenzwert
> 1,oder? also egal was ich da umforme,komme ich auf 1.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Loddar hat doch die Umformung vorgerechnet
[mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}_{\rightarrow e \ \text{für} \ n\to\infty}\cdot{}\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}_{\rightarrow e \ \text{für} \ n\to\infty} [/mm] \ [mm] \longrightarrow e\cdot{}e [/mm] \ = \ [mm] e^2 [/mm] \ \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ [mm] n\to\infty$
[/mm]
> rausgefunden habe ich ,dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] = e ,aber warum denn?
Das ist Definitionssache, eine Möglichkeit, die eulersche Zahl e zu definieren, ist als Grenzwert ebenjener obigen Folge, also als [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$.
[/mm]
Eine andere Defintion ist über die Exponentialreihe [mm] $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot{}x^n$, [/mm] also [mm] $e=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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