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| Aufgabe | Geben Sie Grenzwerte für folgende Folgen [mm] (a_n)n \in \IN [/mm] an:
a) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2-1}{n^2+1}
[/mm]
b) [mm] a_n [/mm] = [mm] (1+\bruch{8}{n!})^{42}
[/mm]
c) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{n^2}* \bruch{n^3+1}{n^2+1}
[/mm]
d) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{7^n+4^{n+1}}{7^{n+1} + 4^n}
[/mm]
e) [mm] a_n [/mm] = 3n - [mm] \wurzel{9n^2 + 3n +1}
[/mm]
f) [mm] a_n [/mm] = (1- [mm] \bruch{x^2}{n^2})^n
[/mm]
g) [mm] a_n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{4}) (1-\bruch{1}{9})...(1-\bruch{1}{n^2}) [/mm] |
a) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2-1}{n^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(1-\bruch{1}{n^2})}{n^2( 1+\bruch{1}{n^2})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
b) [mm] a_n [/mm] = [mm] (1+\bruch{8}{n!})^{42} [/mm] = [mm] 1^{42}=1
[/mm]
c) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{n^2}* \bruch{n^3+1}{n^2+1} [/mm] = [mm] \bruch{-n^{3+n}-1^n}{n^4+n^2} [/mm] = [mm] \bruch{n^n(1^3-\bruch{1}{n^2})}{n^4(1+\bruch{1}{n^2})} [/mm] = [mm] n^{n-1}
[/mm]
d) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{7^n+4^{n+1}}{7^{n+1} + 4^n} [/mm] = [mm] \bruch{7^n(1+\bruch{4^{n+1})}{7^n}}{7^n(7+\bruch{4^n}{7^n})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7}
[/mm]
ich bitte um Korrektur
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 19.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Geben Sie Grenzwerte für folgende Folgen [mm](a_n)n \in \IN[/mm]
> an:
>
> a) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n^2-1}{n^2+1}[/mm]
>
> b) [mm]a_n[/mm] = [mm](1+\bruch{8}{n!})^{42}[/mm]
>
> c) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^n}{n^2}* \bruch{n^3+1}{n^2+1}[/mm]
>
> d) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{7^n+4^{n+1}}{7^{n+1} + 4^n}[/mm]
>
> e) [mm]a_n[/mm] = 3n - [mm]\wurzel{9n^2 + 3n +1}[/mm]
>
> f) [mm]a_n[/mm] = (1- [mm]\bruch{x^2}{n^2})^n[/mm]
>
> g) [mm]a_n[/mm] = [mm](1-\bruch{1}{4}) (1-\bruch{1}{49})...(1-\bruch{1}{n^2})[/mm]
>
> a) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n^2-1}{n^2+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^2(1-\bruch{1}{n^2})}{n^2( 1+\bruch{1}{n^2})}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1
Das stimmt, aber deine Notation ist fürchterlich. Du schreibst weder, wohin n laufen soll, und missbrauchst nebenbei noch das Gleichheitszeichen, denn [mm] \frac{1-\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n^{2}}} [/mm] ist sicher nicht 1
Aber:
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{2}-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1-0}{1+0}=1
[/mm]
>
> b) [mm]a_n[/mm] = [mm](1+\bruch{8}{n!})^{42}[/mm] = [mm]1^{42}=1[/mm]
Das stimmt, auch wenn deine Notation genauso grauselig ist, wie in a)
>
> c) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^n}{n^2}* \bruch{n^3+1}{n^2+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{-n^{3+n}-1^n}{n^4+n^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^n(1^3-\bruch{1}{n^2})}{n^4(1+\bruch{1}{n^2})}[/mm] =
> [mm]n^{n-1}[/mm]
Was tust du hier?
Es gilt:
[mm] a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cdot\frac{n^{3}+1}{n^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\frac{(-1)^{n}\cdot(n^{3}+1)}{n^{4}+n^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{n^{4}\cdot(-1)^{n}\cdot\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{4}}\right)}{n^{4}\cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)}
[/mm]
[mm] =\frac{(-1)^{n}\cdot\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{4}}\right)}{1+\frac{1}{n^{2}}}
[/mm]
Nun bist du erstmal wieder dran
>
> d) [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{7^n+4^{n+1}}{7^{n+1} + 4^n}[/mm] =
> [mm]\bruch{7^n(1+\bruch{4^{n+1})}{7^n}}{7^n(7+\bruch{4^n}{7^n})}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
Nicht ganz (von der Notation mal abgesehen)
[mm] \bruch{7^n(1+\bruch{4^{n+1})}{7^n}}{7^n(7+\bruch{4^n}{7^n})}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+\bruch{4^{n}\cdot4)}{7^n}}{7+\bruch{4^n}{7^n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+4\cdot\left(\bruch{4}{7}\right)^{n}}{7+\left(\bruch{4}{7}\right)^{n}}
[/mm]
Das Ergebnis stimmt aber, es war nur nicht ganz offensichtlich.
>
>
> ich bitte um Korrektur
In der Klausur würde ich dir für die Notationsmänges maximal die Hälfte der Punkte geben.
Marius
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> Es gilt:
>
> [mm]a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cdot\frac{n^{3}+1}{n^{2}+1}[/mm]
> [mm]=\frac{(-1)^{n}\cdot(n^{3}+1)}{n^{4}+n^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{n^{4}\cdot(-1)^{n}\cdot\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{4}}\right)}{n^{4}\cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{(-1)^{n}\cdot\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{4}}\right)}{1+\frac{1}{n^{2}}}[/mm]
>
> Nun bist du erstmal wieder dran
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{(-1)^{n}\cdot\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{4}}\right)}{1+\frac{1}{n^{2}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^n *(0 +0)}{1+0} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] = 0
g) [mm] a_n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{4}) (1-\bruch{1}{49})...(1-\bruch{1}{n^2})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{8}{9}... [/mm] (1+0) = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
für aufg e) brauch ich ein tipp wegen dem bruch. ich habe werte für n eingesetzt und herausgefunden, das die wurzel stärker steigt als 3n. die folge geht also gegen 0. ich weiß aber nicht wie ich das mathematisch zeigen soll
für f brauch tich auch ein tipp
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 So 19.01.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
> > g) [mm]a_n[/mm] = [mm](1-\bruch{1}{4}) (1-\bruch{1}{49})...(1-\bruch{1}{n^2})[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}*\bruch{8}{9}...[/mm]
> > (1+0) = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Es gilt:
>
> [mm]1-\frac{1}{49}=\frac{48}{49}[/mm]
>
> Was passiert denn bei den Punkten?
>
> Kannst du die Folge [mm]a_n[/mm] "angeben" ?
ich habe mich leider vertippt in der aufgabenstellung:
die folge ist [mm]a_n[/mm] = [mm](1-\bruch{1}{4}) (1-\bruch{1}{9})...(1-\bruch{1}{n^2})[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 So 19.01.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo DieAcht!
> [mm]a_n=3n-\wurzel{9n^2+3n +1}=3n-\wurzel{9n^2+3n +1}*\frac{3n+\wurzel{9n^2+3n +1}}{3n+\wurzel{9n^2+3n+1}}[/mm]
Hier fehlen entscheidende Klammern.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 19.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo DieAcht!
>
>
> > [mm]a_n=3n-\wurzel{9n^2+3n +1}=3n-\wurzel{9n^2+3n +1}*\frac{3n+\wurzel{9n^2+3n +1}}{3n+\wurzel{9n^2+3n+1}}[/mm]
>
> Hier fehlen entscheidende Klammern.
>
Danke Dir!
Das zweite Mal heute.. Ich überlasse lieber euch das Revier..
> Gruß
> Loddar
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 19.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
f) und g) haben recht ähnliche Lösungswege :
In den Klammern zusammenfassen (Hauptnenner), dann im Zähler die dritte binomische Formel anwenden.
Dann bei f) : lim ( (..)*(..) ) = (lim (..)) * (lim (..))
bei g) : kürzen was das Zeug hält.
Gruß Sax.
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Hallo arbeitsamt,
> g) [mm]a_n[/mm] = [mm](1-\bruch{1}{4}) (1-\bruch{1}{9})...(1-\bruch{1}{n^2})[/mm]
Nebenbei: für n=1 ist kein Folgenglied definiert. Für die Bestimmung des Grenzwerts ist das aber egal.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}*\bruch{8}{9}...[/mm]
> (1+0) = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
Warum? Das ist nicht einsichtig, und die Lösung ist nebenbei auch falsch.
Wie geht man an so eine Aufgabe heran?
Eine Möglichkeit ist natürlich, erstmal ein paar Glieder zu berechnen und zu sehen, ob man eine Gesetzmäßigkeit findet, die man dann mit vollständiger Induktion beweisen müsste. Das ist hier nicht so einfach.
Eine andere Möglichkeit ist die, wieder die 3. binomische Formel anzuwenden, hier rückwärts: [mm] 1-\br{1}{n^2}=\left(1+\br{1}{n}\right)\left(1-\br{1}{n}\right)
[/mm]
Das sieht erst einmal nicht nach einer Ersparnis aus. Berechnen wir aber mal z.B. [mm] a_4.
[/mm]
[mm] a_4=\left(1-\br{1}{4}\right)\left(1-\br{1}{9}\right)\left(1-\br{1}{16}\right)=\left(1+\br{1}{2}\right)\left(1-\br{1}{2}\right)\left(1+\br{1}{3}\right)\left(1-\br{1}{3}\right)\left(1+\br{1}{4}\right)\left(1-\br{1}{4}\right)=\cdots
[/mm]
Jetzt ordnen wir die Faktoren mal um, sozusagen nach plus und minus:
[mm] \cdots=\left(1+\br{1}{2}\right)\left(1+\br{1}{3}\right)\left(1+\br{1}{4}\right)\left(1-\br{1}{2}\right)\left(1-\br{1}{3}\right)\left(1-\br{1}{4}\right)=\blue{\br{3}{2}*\br{4}{3}*\br{5}{4}}\;*\;\br{1}{2}*\br{2}{3}*\br{3}{4}=\cdots
[/mm]
Jetzt sieht man, dass sich da bei zwei aufeinfolgenden Brüchen sowohl im linken (blauen) als auch im rechten (schwarzen) Teil immer ein Zähler gegen einen Nenner kürzen. Das Ergebnis ist also ganz übersichtlich:
[mm] \cdots=\blue{\br{5}{2}}*\br{1}{4}
[/mm]
Mit ein wenig Überlegung lässt sich das tatsächlich verallgemeinern.
[mm] a_n=\blue{\br{n+1}{2}}*\br{1}{n}
[/mm]
Ab da ist die Grenzwertermittlung nur noch ein Klacks.
Grüße
reverend
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ok ich komme bei aufg e) nicht weiter:
[mm] a_n [/mm] = 3n - [mm] \wurzel{9n^2 + 3n +1}
[/mm]
= [mm] a_n [/mm] = 3n - [mm] \wurzel{9n^2 + 3n +1} [/mm] * [mm] \bruch{3n + \wurzel{9n^2 + 3n +1}}{3n + \wurzel{9n^2 + 3n +1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-3n-1}{3n + \wurzel{9n^2 + 3n +1}}
[/mm]
ich komme hier nicht weiter. wie bekomme ich die wurzel im nenner weg?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
