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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(x^n+a_1 x^{n-1}+...+a_n)}-x
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{1-x^m}{1-x^n}, n,m\in\IN
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel[3]{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-\cos ax}{1-\cos x}, a\not=0
[/mm]
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bei a) Hier kann ich doch den limes in die klammer ziehen, da die wurzelfunktion stetig ist und x auch. Aber wie genau kann ich dann den limes von der n-ten wurzel bilden?
zu b) lim= [mm] \infty, [/mm] weil der nenner [mm] (1-x)^n [/mm] für x [mm] \to [/mm] 1 gegen null läuft
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Hallo Kreide!
Ich nehme doch mal, dass Du [mm] $\red{x}\rightarrow [/mm] 1$ ermitteln sollst.
Entweder wendest Du hier  de l'Hospital an, oder Du verwendest folgende Gleichung:
[mm] $$1-x^k [/mm] \ = \ [mm] (1-x)*\left(1+x+x^2+...+x^{k-1}\right) [/mm] \ = \ [mm] (1-x)*\summe_{j=0}^{k-1}x^j$$
[/mm]
Das kannst Du dann sowohl im Zähler als auch im Nenner anwenden und kürzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
hat die gleichung irgenwie einen namen?
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Hallo Kreide!
> hat die gleichung irgenwie einen namen?
Nicht, dass ich wüsste. Aber diese Gleichung ist das Ergebnis der entsprechenden Polynomdivision, da $(1-x)_$ stets ein Linearfaktor von [mm] $1-x^k, k\in\IN$ [/mm] ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> [mm]1-x^k \ = \ (1-x)*\left(1+x+x^2+...+x^{k-1}\right) \ = \ (1-x)*\summe_{j=0}^{k-1}x^j[/mm]
ich hab das mit der polynomdivision probiert, aber irgendwie komme ich da auf [mm] 1-x^k+x.... [/mm] und nicht auf
auch wenn ich davon ausgehe, dass die gleichung stimmen sollte, dann stünde da ja:
[mm] \bruch{\ (1-x)*\summe_{j=0}^{m-1}x^j}{
\ (1-x)*\summe_{j=0}^{n-1}x^j}=\bruch{\summe_{j=0}^{m-1}x^j}{
\summe_{j=0}^{n-1}x^j}
[/mm]
da kann man nichts mehr kürzen,
ich weiß nur das beide summen anfangs die gleichen summanden besitzen... aber irgenwie komm ich da nich weiter ;(
> Das kannst Du dann sowohl im Zähler als auch im Nenner
> anwenden und kürzen.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
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Hallo Kreide!
Nun setze hier jeweils $x \ = \ 1$ ein. Dabei muss man sich überlegen, wieviele Summanden jeweils in Zähler und Nenner stehen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
oh ja!!! dann hab ich oben m, summanden und unten n
also ist der grenzwert [mm] \bruch{m}{n}
[/mm]
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Hallo Kreide!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
c) hier kann ich Hopital verwenden, stimmt's?
[mm] ...=\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{-1}{\bruch{-1}{3} x^{-2/3}}=1
[/mm]
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Hallo Kreide!
de l'Hospital hast Du richtig angewandt (wenn Du diesen hier auch benutzen darfst). Aber der Grenzwert ist falsch. Was ist denn mit [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] im Nenner passiert?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
oh stimmt, hab ich übersehen!!!, dann wäre es 3
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Hallo Kreide!
Auch Aufgabe d.) ist ein Fall für Herrn de l'Hospital ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
d)stimmt^^
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{asinax}{sinx}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{a^2 cosax}{-cosx}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}-a^2
[/mm]
[mm] =-a^2
[/mm]
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Hallo Kreide!
Wo kommt denn da plötzlich das Minuszeichen her?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
das minuszeichen kommt von dem nenner...
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Hallo Kreide,
schau nochmal scharf hin, da hast du den vorherigen Nenner [mm] $\sin(x)$
[/mm]
falsch abgeleitet.
Das "-" ist zuviel 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
^^hast recht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Kreide!
Bist Du sicher, dass die n-te Wurzel hier bis über das $-x_$ reicht und nicht schon davor endet?
$$\limes_{x\rightarrow\infty}\left( \ \wurzel[n]{x^n+a_1* x^{n-1}+...+a_n}}-x\right)$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
hast recht, hab's geändert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:16 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Kreide |
deshalb dachte ich ja auch, dass ich den limes von beiden summanden seperat betrachten könne
gibt es einen trick , wie man den grenzwert von der n-ten wurzel berechnen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kreide!
Nun übe Dich doch mal etwas in Geduld ... schließlich wird Deine Frage ganz oben zur Zeit von Marcel bearbeitet.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(x^n+a_1 x^{n-1}+...+a_n)}-x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
es gilt für $x>0$:
$x^n+a_1 x^{n-1}+...+a_n=x^n*\left(1+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n}}\right)$
Also:
$\sqrt[n]{x^n+a_1 x^{n-1}+...+a_n}=x*\sqrt[n]{1+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n}}$
Nun mache Dir klar, wogegen $1+\frac{a_1}{x}+\frac{2}{x^2}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n}$ bei $x \to \infty$ konvergiert, und beachte, dass
$x \mapsto \sqrt[n]{x}$ stetig auf $\IR_{\ge0}$ ist.
Danach:
$\limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(x^n+a_1 x^{n-1}+...+a_n)}-x=\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\frac{1}{\sqrt[n]{1+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n}}-1}}}$
Ein Fall für de l'Hôpital
P.S.:
Ich hoffe, dass das klappt. Die Funktion $x \mapsto x$ abzuleiten, wird Dir sicherlich keine Probleme bereiten.
Wenn Du
$x \mapsto \frac{1}{\sqrt[n]{1+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n}}-1}}$ (beachte: $n \in \IN$ fest)
ableiten willst, dann beachte die Regel:
$\left(\frac{1}{g}\right)'=\frac{-g'}{g^2}$
Wenn ich richtig gerechnet habe, muss man dann an einer Stelle $\frac{1}{x^2}$ vorklammern und dann folgt das, was man erwarten würde:
$\limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(x^n+a_1 x^{n-1}+...+a_n)}-x=0$
Wie gesagt, ich hoffe, ich habe da keinen Rechenfehler drin, man verliert hier sehr schnell den Überblick ein wenig und leider muss ich nun weg, also ggf. kann Dir ja Roadrunner oder sonst jemand noch weiterhelfen, falls ich mich da vertan haben sollte...
Gruß,
Marcel
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