größte Fläche eines Trapezes < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Be123 |
Guten Abend!
Ich komme mit ![[]](/images/popup.gif) dieser Aufgabe nicht weiter!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe: Ein Kanal soll das abgebildete Querschnittsprofil bei minimalen Materialbedarf haben. Ermitteln Sie diesen minimalen materialbedarf, wenn die Querschnittsfläsche des Kanals den Inhalt A besitzt!!
Meine Überlegung ist, eine Beziehung zwischen Fläche und Länge des Kanalquerschnittes herzustellen:
[mm] \frac {a \cdot h+h \cdot x}{a+2\cdot\wurzel{h²+x²}} = moeglichst gross[/mm]
Hat jemand einen Tipp? Danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo kleiner Bruder 
> Guten Abend!
> Ich komme mit
> dieser Aufgabe
> nicht weiter!
>
> [Externes Bild http://www.schoolwork.de/forum/album_mod/upload/0dff1383ca2375aee62cfe1b1ca4aafb.jpg]
> Aufgabe: Ein Kanal soll das abgebildete Querschnittsprofil
> bei minimalen Materialbedarf haben. Ermitteln Sie diesen
> minimalen materialbedarf, wenn die Querschnittsfläsche des
> Kanals den Inhalt A besitzt!!
>
> Meine Überlegung ist, eine Beziehung zwischen Fläche und
> Länge des Kanalquerschnittes herzustellen:
> [mm]\frac {a \cdot h+h \cdot x}{a+2\cdot\wurzel{h²+x²}} = moeglichst gross[/mm]
Ich verstehe die Aufgabe jetzt so, dass die drei Größen h, a und x zu bestimmen sind, und zwar so, dass die Summe von a und den beiden Uferlängen (in diesem Querschnitt betrachtet) des Trapezes bei gegebenen Flächeninhalt A minimal wird.
Dies ist eine typische Extremwertaufgabe unter Nebenbedinungen (und in deiner Formel erkenne ich auch viele der nun folgenden Überlegungen wieder):
Zunächst bestimme ich die Extremalbedinung. Das ist hier die "Länge des Kanalquerschnitts" (wie du es bezeichnest) bzw. die Summe von a und den beiden Uferlängen:
[mm] $L(h,a,x)=a+2*\wurzel{x^2+h^2}$ $\rightarrow$ [/mm] min! (soll minimal werden)
(Die Wurzel kommt zustande, weil eine Uferlänge gerade die Hypotenuse des Dreiecks mit den beiden Seitenlängen x und h ist).
Da Funktionen mit nur einer Veränderlichen besonders einfach zu minimieren sind, müssen wir noch versuchen, Abhängigkeiten unter den drei Veränderlichen h,a und x zu bestimmen. Diese Abhängigkeiten nennt man dann Nebenbedingungen.
Die erste Nebenbedingung ist, dass der Böschungswinkel von 60° fest vorgegeben ist -- h ist damit eindeutig festgelegt, wenn x vorgegeben ist.
Es gilt: [mm] $\tan 60°=\bruch{h}{x}$ $\gdw$ $\wurzel{3}=\bruch{h}{x}$ $\gdw$ $h=\wurzel{3}*x$
[/mm]
Die zweite Nebenbedingung ergibt sich aus dem fest vorgegebenen Flächeninhalt A.
Es gilt also: $A=a*h+x*h$ (der Flächeninhalt des Trapezes setzt sich zusammen aus einem Rechteck der Größe a*h und zwei Dreiecken, die zusammen ein Rechteck der Größe x*h ergeben).
Die Nebenbedingung löse ich nach a auf: [mm] $\gdw$ $a=\bruch{A-x*h}{h}$.
[/mm]
Die erste Nebenbedingung kann ich direkt ausnutzen und das h ersetzen:
[mm] $\gdw$ $a=\bruch{A-x*\wurzel{3}*x}{\wurzel{3}*x}$ $\gdw$ $a=\bruch{A-\wurzel{3}x^2}{\wurzel{3}*x}$
[/mm]
So, beide Nebenbedingungen in die Extremalbedingung L(h,a,x) eingesetzt ergibt eine Funktion, die nur noch von x abhängig ist:
[mm] $L(x)=\underbrace{\bruch{A-\wurzel{3}x^2}{\wurzel{3}*x}}_{=a}+2*\wurzel{x^2+\underbrace{3x^2}_{=h^2}}$
[/mm]
und weil ich gerade so schön in Fahrt bin, spendiere ich noch eine Vereinfachung:
[mm] $=\bruch{A-\wurzel{3}x^2}{\wurzel{3}*x}+2*2*x$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\wurzel{3}*A-3x^2}{3x}+4*x$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\wurzel{3}*A-3x^2}{3x}+\bruch{12*x^2}{3x}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\wurzel{3}*A-3x^2+12x^2}{3x}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\wurzel{3}*A+9x^2}{3x}$
[/mm]
Hier könnte man auch noch schreiben:
[mm] $=\bruch{\wurzel{3}*A}{3x}+3x$
[/mm]
So, das ist also die Zielfunktion, deren Minimum nach allen Regeln der Differentialrechnungskunst ermittelt werden kann.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Di 26.10.2004 | | Autor: | Be123 |
Hey Marc! Vielen Dank für diese super ausführliche Erklärung.
Dann werde ich mir für's nächste Mal merken, dass ich durch Nebenbedingungen am Ende nur noch x und die Größe von der alles abhängt (A) in der Funktion haben darf.
Wenn ich das jetzt verstehe, wird es dann mit der ersten Ableitung weitergehen, die ich dann nullsetze, um das Minimum zu erhalten!
[mm] L(x) =\bruch{\wurzel{3}\cdot{}A+9x^2}{3x} [/mm]
$ [mm] (\bruch{f}{g})' [/mm] = [mm] \bruch{f'g-g'f}{g^{2}} [/mm] $
[mm]L'(x) = \frac {9x(3x) - 3(\wurzel{3} \cdot A + 9x^{2})} {9x^{2}}[/mm]
[mm] = \frac{-3(\wurzel{3} \cdot A )} {9x^{2}}[/mm]
[mm] = \frac{ -A } {\wurzel{3}x^{2}}[/mm]
Wo ist denn das x im Zähler hin! $A=0$ klappt ja nicht so wirklich. Wo ist mein Fehler?
dankende Grüße! benjamin
Ps: Daruf, dass [mm]tan60 = \wurzel {3}[/mm] bin ich vorher auch nicht gekommen ;)) *grins*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Di 26.10.2004 | | Autor: | Be123 |
Vielen Dank für deine super schnelle Korrektur.
...immer diese verflixten Ableitungen
$ L'(x) = [mm] \frac [/mm] {18x(3x) - [mm] 3(\wurzel{3} \cdot [/mm] A + [mm] 9x^{2})} {9x^{2}} [/mm] $
$ L'(x) = [mm] \frac {27x^{2} - 3(\wurzel{3} \cdot A )} {9x^{2}} [/mm] $
$ L'(x) = [mm] \frac {9x^{2} - (\wurzel{3} \cdot A )} {3x^{2}} [/mm] $
Und jetzt das Nullsetzen:
$ L'(x) = 0 $
$ [mm] \frac {9x^{2} - (\wurzel{3} \cdot A )} {3x^{2}} [/mm] = 0 $
$ [mm] 9x^{2} [/mm] - [mm] (\wurzel{3} \cdot [/mm] A ) = 0 $
$ [mm] x^{2} [/mm] = [mm] \frac {\wurzel{3} \cdot A }{9} [/mm] $
$ x = [mm] \pm \wurzel {\frac {\wurzel{3} \cdot A }{9}} [/mm] $
So müsste es doch jetzt richtig sein, oder?
Zur Abwechslung nach A aufgelöst:
$ [mm] \frac{9x^{2}}{\wurzel{3}} [/mm] = A $
$ [mm] \wurzel{27}x^{2} [/mm] = A $
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