gruppen, erzeugende elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:57 Mo 08.01.2007 | | Autor: | klamao |
hallo,
ich soll sämtliche gruppenelemente einer gruppe mittels zweier erzeugender elemente auf folgende weisen darstellen:
1)mit einem erzeugenden element der ordnung 4 und einem der ordnung 2
2) mit zwei erzeugenden elementen der ordnung 2
es ist eine endliche gruppe mit 8 elementen a,b,c,d,e,f,g,h. a ist das neutrale element. ich habe auch die verknüpfungstafel, aber brauch ich die dabei? ob es eine additive oder multiplikative verknüpfung ist, weiß ich nicht. muss man das aber nicht wissen, um die elemente aufzustellen??
heißt es, dass die gruppe dann nur 2 elemente hat, oder 8 elemente, wie auch die gegebene gruppe?
wie finde ich die gesuchten elemente?sind es dann konkrete zahlen, die ich finden muss oder nur die variablen mit bestimmten exponenten?
sorry, sind viele fragen auf einmal, aber hoffe, dass ich alleine weiterkomme, wenn mir jemand die ein oder andere frage beantworten kann.
lg
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Hallo klamao,
> hallo,
> ich soll sämtliche gruppenelemente einer gruppe mittels
> zweier erzeugender elemente auf folgende weisen
> darstellen:
> 1)mit einem erzeugenden element der ordnung 4 und einem
> der ordnung 2
> 2) mit zwei erzeugenden elementen der ordnung 2
>
> es ist eine endliche gruppe mit 8 elementen
> a,b,c,d,e,f,g,h. a ist das neutrale element. ich habe auch
> die verknüpfungstafel, aber brauch ich die dabei? ob es
> eine additive oder multiplikative verknüpfung ist, weiß ich
> nicht. muss man das aber nicht wissen, um die elemente
> aufzustellen??
Nein, es spielt keine Rolle, ob Du die Verknüpfung mit "+", "*" oder [mm] $\circ$ [/mm] ... bezeichnest; das sagt nichts über den "Typ" der Gruppe aus. - Es wäre gut, wenn Du nochmal die Original-Aufgabenstellung aufschreibst; geht es in Teil 1) nur um kommutative Gruppen, oder sollen auch nicht-kommutative Gruppen bestimmt werden?
> heißt es, dass die gruppe dann nur 2 elemente hat, oder 8
> elemente, wie auch die gegebene gruppe?
Die Anzahl der erzeugenden Elemente allein sagt nichts über die Ordnung der Gruppe aus.
> wie finde ich die gesuchten elemente?sind es dann konkrete
> zahlen, die ich finden muss oder nur die variablen mit
> bestimmten exponenten?
Wenn die Verknüpfung multiplikativ schreibst, dann geht es darum, die übrigen Elemente durch die beiden erzeugenden Elemente auszudrücken. Ist etwa [mm] $b^4=a, c^2=a$; [/mm] dann sollen die übrigen Elemente als Produkte der Form $bcb, cb^3c, bcb^2c, [mm] \ldots$ [/mm] ausgedrückt werden. Diese Produkte kannst Du aber aus der Verknüpfungstafel ermitteln.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Mi 10.01.2007 | | Autor: | klamao |
hallo,
danke für die antwort!
wenn ich das richtig verstanden habe sind bei 1) die erzeugenden elemente [mm] b^4 [/mm] und [mm] c^2, [/mm] dann besteht die gruppe aus allen möglichen kombinationen von diesen erzeugenden elementen!?also : bcb, cbbbc, bcbbc,bbbbcc,bcc,bbbbc,bbbc,bc)
und bei 2) sind die erzeugenden elemente [mm] b^2 [/mm] und [mm] c^2 [/mm] !? dann ist die gruppe: (bc,bbc,bcc,bbcc)
stimmt das so??
das ist (bis auf den anfang) die originalaufgabe. es steht noch drunter: stellen sie jeweils sämtliche gruppenelemente durch die erzeugenden dar.
von kommutativen gruppen steht da nichts.oder kann mand as an der verknüpfungstafel erkennen??
lg
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Hallo klamao,
> hallo,
> danke für die antwort!
> wenn ich das richtig verstanden habe sind bei 1) die
> erzeugenden elemente [mm]b^4[/mm] und [mm]c^2,[/mm] dann besteht die gruppe
> aus allen möglichen kombinationen von diesen erzeugenden
> elementen!?also : bcb, cbbbc,
> bcbbc,bbbbcc,bcc,bbbbc,bbbc,bc)
> und bei 2) sind die erzeugenden elemente [mm]b^2[/mm] und [mm]c^2[/mm] !?
> dann ist die gruppe: (bc,bbc,bcc,bbcc)
> stimmt das so??
Nein, das mit [mm] $b^4$ [/mm] bzw. [mm] $c^2$ [/mm] sollten Beispiele sein, wie die "Beschreibung" der Gruppenelemente durch $b,c$ aussehen soll; *erzeugt* wird die Gruppe aber von b und c (sonst wäre das Ergebnis nur die Gruppe, die aus dem Einselement besteht!).
> das ist (bis auf den anfang) die originalaufgabe. es steht
> noch drunter: stellen sie jeweils sämtliche gruppenelemente
> durch die erzeugenden dar.
> von kommutativen gruppen steht da nichts.oder kann mand as
> an der verknüpfungstafel erkennen??
Oh ja: G ist kommutativ genau dann, wenn für alle $1 [mm] \le i,j\le [/mm] |G|$ an Positionen $(i,j)$ und $j,i)$ dasselbe Element steht  .
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 23.05.2013 | | Autor: | martinii |
Hallo zusammen,
zwar ist es schon lange her, als ihr euch mit dem Beitrag hier befasst habt, dennoch habe gerade dazu eine Frage.
Wie man die Gruppentafel aufstellt, dass kann ich. Jedoch weiß ich nicht, wie man herausfindet, was das erzeugende Element davon ist.
Vielleicht kann mir das jdm verraten an einem Beispiel wie Gruppentafel mit 3 Elementen.
Danke
LG
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Hallo,
schauen wir uns also die Gruppentafel für eine 3-elementige Menge [mm] \{a,b,c\} [/mm] mit der Verknüpfung [mm] \circ [/mm] an:
[mm]\begin{tabular}[ht]{ccc}\hline \circ||a & b & c\\\hline \hline a||a & b & c\\b||b & c & a\\c||c & a & b\\ \hline \end{tabular}[/mm]
Ist a erzeugendes Element? Wir berechnen a, [mm] a^2, a^3, a^4...:
[/mm]
a=a
[mm] a^2=a\circ [/mm] a=a
[mm] a^3=a^2\circ a=a\circ [/mm] a=a
[mm] a^4=a^3\circ a=a\circ [/mm] a=a
[mm] \vdots
[/mm]
Wir sehen: es passiert nix weiter. Als Potenzen von a bekommt man nicht jedes Gruppenelement.
a ist kein erzeugendes Element der Gruppe.
Ist b erzeugendes Element? Wir berechnen b, [mm] b^2, b^3, b^4...:
[/mm]
b=b
[mm] b^2=b\circ [/mm] b=c
[mm] b^3=b^2\circ b=c\circ [/mm] b=a
[mm] b^4=b^3\circ b=a\circ [/mm] b=b
[mm] \vdots
[/mm]
(Es wiederholt sich)
Als Potenzen von b bekommt man jedes Gruppenelement.
b ist erzeugendes Element der Gruppe.
Genauso kannst Du feststellen, daß man auch mit c die Gruppe erzeugen kann.
Also: Potenzen angucken und feststellen, ob jedes Gruppenelement als Potenz des besagten Elementes geschrieben werden kann.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Do 23.05.2013 | | Autor: | martinii |
Super. Vielen Dank für die schöne und ausführliche Erklärung !
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Mo 15.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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