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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 12.09.2006 | | Autor: | kelviser |
| Aufgabe | berechnen sie die grenzwerte folgender funktionen:
1. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{e^x}{x²+x}
[/mm]
2. [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x²}{tanx} [/mm] |
hallo,
ich glaube zu wissen, dass man diese aufgabe mit de l'hospital zu lösen hat. leider habe ich keine ahnung davon.
wäre sehr dankbar, wenn sie mir jemand erklären würde.
danke im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Di 12.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo kelviser!
Den Ansatz mit den  Grenzwertsätzen von de l'Hospital hast Du ja bereits selber geliefert.
Diese darf man anwenden, wenn für einen Grenzwert eines Bruches einer der unbestimmten Ausdrücke [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] entsteht.
Bei der ersten Ausgabe haben wir also für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] den Ausdruck [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] .
Also leiten wir für die Grenzwertbestimmung mal Zähler und Nenner getrennt ab:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{e^x}{x^2+x} \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\left(e^x\right)'}{\left(x^2+x\right)'} \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^x}{2x+1} [/mm]
Auch hier liegt wieder der Fall [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] vor, so dass wir Herrn de l'Hospital nochmals bemühen:
$... \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^x}{2x+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\left(e^x\right)'}{\left(2x+1\right)'} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^x}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\limes_{x\rightarrow\infty}e^x$
[/mm]
Für diesen Term erhalten wir nun als Grenzwert [mm] $\bruch{1}{2}*\infty [/mm] \ = \ [mm] \infty$ [/mm] . Damit haben wir nun den gesuchten Grenzwert bestimmt.
Schaffst Du nun die 2. Aufgabe selber? Dort liegt der Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vor ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Di 12.09.2006 | | Autor: | kelviser |
ertmals vielen vielen dank..
mein problem bei der nächsten aufgabne ist, dass da tangens mit im spiel ist, d.h. dass ich das nicht ganz beherrsche.
würde sehr hilfreich sein, wenn du lust hättest , auch das mal zu erklären..
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 12.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo kelviser!
Für diese Aufgabe musst Du 2 Dinge wissen: [mm] $\tan(0) [/mm] \ = \ 0$ sowie die entsprechende Ableitung: [mm] $\left[ \ \tan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)}$ [/mm] .
Kommst Du nun weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 12.09.2006 | | Autor: | kelviser |
dann hätte ich im zähler 2x und im nenner die ableitung. wenn ich dann 0 einsetze , kommt im zähler 0 raus, uund im nenner 1????
sodass der grenzwert gleich null ist???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Di 12.09.2006 | | Autor: | Loddar |
.
Ganz genau ... ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 12.09.2006 | | Autor: | kelviser |
danke , wirklich...
nochmal zuletzt... ne frage..
auch hier geht es um den grenzwert x--> 0.
unswar die funktion
sinx*lnx
die voraussetzung für de l'hospital ist ja erfüllt.
kommt hier denn 0 raus, weil da die ableitung von ln x = 1/x ist, und dies ja null ist, eben weil es ja auch als faktor eines produktes gilt....
ist 0 richtig, oder muss ich hier "mathematische tricks" anwenden????
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Hallo kelsiver,
wir suchen den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow0}ln(x)*sin(x) [/mm] .
Hier können wir die Regel von l'Hospital nicht anwenden. Du hast keinen Quotienten. Man könnte sich zwar einen basteln, aber das wäre dann diese Funktion
[mm] \limes_{x\rightarrow0}sin(x)*ln(x)
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x)}{\bruch{1}{ln(x)}}
[/mm]
Wäre ein Ausdruck [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Hier kann man l'Hospital unmittelbar anwenden. s. unten weiter
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Di 12.09.2006 | | Autor: | kelviser |
hi,
angenommen, ich mache das so, wie du es per quotient beschrieben hast, das geht doch eigentlich ne???
mache ich hier die regel nach dem gleichen schema, so kommt der grenzwert gleich null raus.
also geht das auch???
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Hiho,
natürlich kannst du das nach dem gleichen Schema machen, allerdings müsstest du das meines Erachtens nach so umformen:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} [sin(x) ln(x)] = \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{lnx}{\bruch{1}{sinx}} = \bruch{-\infty}{\bruch{1}{0}} = \bruch{-\infty}{\infty}[/mm]
Und dann zweimal l'Hospital anwenden. Nur einmal wird, denke ich, nicht reichen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Di 12.09.2006 | | Autor: | kelviser |
erstmals danke für deine antwort........
aber leider habe ich es nicht ganz nachvollziehen können.
also , wenn ich für lnx im zähler 0 einsetze, hast du gesagt, dass [mm] -\infty
[/mm]
rauskommt, ok das verstehe ich.
das im nenner eigentlich auch.
aber wenn ich jetzt einmal hospital anwende, kommt im zähler 1/x raus. das ist unendlich (positiv) .
dann im nenner in die ableitung von 1/sinx (also: cosx/(sinx)²), wenn ich null einsetze kommt 0 raus, oder??
wenn meine rechnung richtig ist, ist die antwort [mm] \infty [/mm] / 0, also 0???????
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Fast richtig 
Dann wollen wir mal:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}[sinxlnx] = \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{lnx}{\bruch{1}{sinx}} = \bruch{-\infty}{\infty}[/mm]
Also 1. mal l'Hospital:
[mm]= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{(lnx)'}{((sinx)^{-1})'} = \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{x}}{-(sinx)^{-2}cosx}[/mm]
[mm]=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{-sin^2x}{xcosx} = \limes_{x\rightarrow 0}[\bruch{-(sin^2x)}{x} * \bruch{1}{cosx}][/mm]
So, den Grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{cosx} [/mm] kennen wir, nämlich [mm] \bruch{1}{cos 0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
Bleibt noch [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{-(sin^2x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Also wieder l'Hospital:
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{(-(sin^2x))'}{(x)'} = \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{-2sinxcosx}{1} = \limes_{x\rightarrow 0}[-2sinxcosx] = -2sin(0)cos(0) = -2*0*1 = 0 [/mm]
Somit ergibt sich für den Gesamtgrenzwert also folgende Gesamtgleichung:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}[sinxlnx] = ... = \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{-sin^2x}{xcosx} = \limes_{x\rightarrow 0}[\bruch{-(sin^2x)}{x} * \bruch{1}{cosx}] [/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{-(sin^2x)}{x} * \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{cosx} = 0 * 1 = 0 [/mm]
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 12.09.2006 | | Autor: | kelviser |
vielen herzlichen dank...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 12.09.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ln(x) ist nicht 0, sondern [mm] -\infty. [/mm] Insofern bleibt ihm keine andere Möglichkeit, als sich nen Bruch zu "basteln".
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Hallo,
danke für den Hinweis. Mein Fehler. Ich habe es korrigiert.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo @all!
> [mm]=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{\bruch{1}{\ln(x)}}[/mm]
Auf diesen Bruch kann ich doch nun wunderbar Herrn de l'Hospital drauf ansetzen, da ein Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vorliegt ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
da hast du natürlich Recht. Ich hatte da ne Art Brett vorm Kopf. Ich hab das gerade mal probiert. Das wird aber mit dem Ableiten zunehmend komplizierter. Hier mal die erste Ableitung
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(x)}{\bruch{-1}{(ln(x))^{2}*x}} [/mm] .
Hier steht wieder 0/0. Man kann wieder ableiten. Der Nenner wird jetzt aber noch komplizierter, Produkt- und Quotientenregel oder siehst du das anders? Das führt nicht so richtig zum Ziel.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Do 14.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo und guten Morgen Daniel!
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(x)}{\bruch{-1}{(ln(x))^{2}*x}}[/mm] Hier steht wieder 0/0.
Wieso? Im Zähler erhalte ich eine souveräne $1_$ , da [mm] $\cos(0) [/mm] \ = \ 1$ .
Und wenn ich nun den Ausdruck [mm] $x*\ln^2(x)$ [/mm] in einer Nebenberechnung betrachte (mit 2-maliger Anwendung de l'Hospital), erhalte ich:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln^2(x) [/mm] \ = \ 0$
Damit wird mein obiger Ausdruck zu [mm] $\bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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