h-Methode < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 So 04.06.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe 1 | Berechne die Tangentensteigung im Punkt P. nach der h-Methode.
f(x) = 3x² |
| Aufgabe 2 | Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt P.
f(x) = x² + 2 |
Hallo,
Aufgaben stehen ja oben.
Sollten es mithilfe der h-Mathode machen. Damit habe ich immer so einige Probleme aber nun gut, habe es einfach mal probiert.
Aufgabe 1 :
f(x) = 3x² P (2|12)
f(2) = 3*2²
f(2) = 12
ms = [mm] \bruch{f(a + h) - f(a)}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{3(2 + h)² - 3(2)²}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{3(4 + 4h +h²) - 3(4)}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{12 + 12h +3h² - 12}{h}
[/mm]
Nun habe ich h ausgeklammert :
= [mm] \bruch{h(12+3h)}{h}
[/mm]
Nun h wegkürzen :
ms = [mm] \bruch{12 + 3h}{1}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ms = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{12 + 3*0}{1}
[/mm]
ms = 12
Also ist die Steigung der Tangente 12 oder?
Wenn dies richtig ist cool wenn nicht naja ;)
Hab nochmal ne Frage, was bedeuetet das Kürzel ms? Hat unser Lehrer immer an die Tafel geschrieben aber hab mich nie getraut ihn zu fragen *heul*
Manchmal benutzte er nämlich auch mt, nur wann weiß ich nicht mehr ist irgendwie alles blöd *heul* ...
Aufgabe 2 :
f (x) = x² + 2 P(2|6)
f (2) = 2² + 2
f (2) = 6
ms = [mm] \bruch{f(a + h) - f(a)}{h} [/mm]
= [mm] \bruch{(2 + h)² - f(2)²}{h} [/mm]
= [mm] \bruch{(4 + 4h + h²) - f(4)}{h} [/mm]
= [mm] \bruch{4h + h²}{h} [/mm]
Nun erstmal h ausklammern ;)
= [mm] \bruch{h(4 + h)}{h} [/mm]
Dann h wegkürzen ;)
= [mm] \bruch{4 + h}{1} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ms = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{4 + 0}{1}
[/mm]
ms = 4
t(xp) = mt*xp+b
6 = 4*2 + b | -8
6 - 8 = b
b = -2
Also ist die Gleichung der Tangente :
f (x) = 4x - 2
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Hallo Kristof,
> Berechne die Tangentensteigung im Punkt P. nach der
> h-Methode.
>
> f(x) = 3x²
> Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der
> Funktion f im Punkt P.
>
> f(x) = x² + 2
> Hallo,
> Aufgaben stehen ja oben.
> Sollten es mithilfe der h-Mathode machen. Damit habe ich
> immer so einige Probleme aber nun gut, habe es einfach mal
> probiert.
>
> Aufgabe 1 :
>
> f(x) = 3x² P (2|12)
> f(2) = 3*2²
> f(2) = 12
>
> ms = [mm]\bruch{f(a + h) - f(a)}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{3(2 + h)² - 3(2)²}{h}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3(4 + 4h +h²) - 3(4)}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{12 + 12h +3h² - 12}{h}[/mm]
>
>
> Nun habe ich h ausgeklammert :
> = [mm]\bruch{h(12+3h)}{h}[/mm]
>
> Nun h wegkürzen :
> ms = [mm]\bruch{12 + 3h}{1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] ms = [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{12 + 3*0}{1}[/mm]
>
> ms = 12
>
> Also ist die Steigung der Tangente 12 oder?
Ja, das scheint richtig zu sein. Habe keinen Fehler entdecken können. Beachte aber, vor jeden Bruch den lim h->0 hinzuschreiben. Du führst da immerhin eine Grenzwertbetrachtung durch.
> Wenn dies richtig ist cool wenn nicht naja ;)
> Hab nochmal ne Frage, was bedeuetet das Kürzel ms? Hat
> unser Lehrer immer an die Tafel geschrieben aber hab mich
> nie getraut ihn zu fragen *heul*
Was das ms bedeutet, weiß ich auch nicht. Das m steht sicher für irgendeine Steigung, aber das s...? Da wirst du ihn wohl doch mal fragen müssen!
> Manchmal benutzte er nämlich auch mt, nur wann weiß ich
> nicht mehr ist irgendwie alles blöd *heul* ...
Ach so, mt auch. Dann könnte mt für Tangentensteigung stehen und ms für Sekantensteigung, das macht Sinn. Du hättest also immer mt schreiben sollen. Mathematisch gesehen, fehlt aber in jedem Schritt der Limes davor. Sonst ist überhaupt nicht klar, was das h in dem Bruch zu suchen hat.
>
> Aufgabe 2 :
>
> f (x) = x² + 2 P(2|6)
> f (2) = 2² + 2
> f (2) = 6
>
> ms = [mm]\bruch{f(a + h) - f(a)}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{(2 + h)² - f(2)²}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{(4 + 4h + h²) - f(4)}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{4h + h²}{h}[/mm]
>
> Nun erstmal h ausklammern ;)
> = [mm]\bruch{h(4 + h)}{h}[/mm]
> Dann h wegkürzen ;)
> = [mm]\bruch{4 + h}{1}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] ms = [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{4 + 0}{1}[/mm]
>
> ms = 4
Das stimmt leider nicht so richtig, du hast eine 2 unterschlagen:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(a+h)^{2}+2-f(a)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(2+h)^{2}+2-6}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{4+2h+h^{2}-4}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h(2+h)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}(2+h)
[/mm]
=2
Das ist dann also deine Steigung. Den Rest schaffst du ja jetzt alleine! 
>
> t(xp) = mt*xp+b
> 6 = 4*2 + b | -8
> 6 - 8 = b
> b = -2
>
> Also ist die Gleichung der Tangente :
>
> f (x) = 4x - 2
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
>
> Ach so, mt auch. Dann könnte mt für Tangentensteigung
> stehen und ms für Sekantensteigung, das macht Sinn. Du
> hättest also immer mt schreiben sollen. Mathematisch
> gesehen, fehlt aber in jedem Schritt der Limes davor. Sonst
> ist überhaupt nicht klar, was das h in dem Bruch zu suchen
> hat.
>
Da muss ich dann auch noch meinen Senf dazugeben:
Wenn man den Ausdruck ohne Limes schreibt entspricht er ja genau der Steigung der Sekante zwischen den Stellen x und x+h. Insofern ist m.E. die Schreibweise mit [mm] m_s [/mm] und ohne Limes durchaus korrekt.
Auch [mm]\limes_{h\to 0}m_s[/mm] macht meiner Meinung nach noch Sinn: wir betrachten die Steigung der Sekante und lassen die beiden Schnittpunkte immer dichter zusammenrücken.
Allerdings kommt an der Stelle
> > ms = 12
ein [mm] m_s [/mm] nach dem Grenzübergang vor, und da ist es ja nicht mehr die Steigung der Sekante sondern die der Tangente, d.h nach dem Grenzübergang sollte man besser [mm] m_t [/mm] verwenden.
Gruß
piet
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 04.06.2006 | | Autor: | Kristof |
> > Aufgabe 2 :
> >
> > f (x) = x² + 2 P(2|6)
> > f (2) = 2² + 2
> > f (2) = 6
> >
> > ms = [mm]\bruch{f(a + h) - f(a)}{h}[/mm]
> > = [mm]\bruch{(2 + h)² - f(2)²}{h}[/mm]
> > = [mm]\bruch{(4 + 4h + h²) - f(4)}{h}[/mm]
> > = [mm]\bruch{4h + h²}{h}[/mm]
m> >
> > Nun erstmal h ausklammern ;)
> > = [mm]\bruch{h(4 + h)}{h}[/mm]
> > Dann h wegkürzen ;)
> > = [mm]\bruch{4 + h}{1}[/mm]
> >
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] ms = [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{4 + 0}{1}[/mm]
>
> >
> > ms = 4
>
> Das stimmt leider nicht so richtig, du hast eine 2
> unterschlagen:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(a+h)^{2}+2-f(a)}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{(2+h)^{2}+2-6}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{4+2h+h^{2}-4}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h(2+h)}{h}[/mm]
> [mm]=\limes_{h\rightarrow0}(2+h)[/mm]
> =2
>
> Das ist dann also deine Steigung. Den Rest schaffst du ja
> jetzt alleine!
Wieso eine 2 Unterschlagen?
Ist es nicht so, das die Zahlen (hab jetzt kein anderen Ausruck, sorry) ohne x beim Ableiten wegfallen? In dem Fall wäre das doch die 2 oder?
> > t(xp) = mt*xp+b
> > 6 = 4*2 + b | -8
> > 6 - 8 = b
> > b = -2
> >
> > Also ist die Gleichung der Tangente :
> >
> > f (x) = 4x - 2
>
> Viele Grüße
> Daniel
Habe noch eine Aufgabe wo es ähnlich ist. Bin nun aber verwirrt.
Funktionstherm :
f(x) = x³+5 P (2|13)
f(2) = 13
ms = [mm] \bruch{f(a + h) - f(a)}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2 + h)^3 - (2)^3}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{(8+12h+6h^2+h^3) - (8)}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{12h+6h^2 +h^3}{h}
[/mm]
Nun klammer ich h aus :
= [mm] \bruch{h(12 + 6h+ h^2)}{h}
[/mm]
Nun kann man ja kürzen und es kommt raus :
ms = 12 + 6h + [mm] h^2
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] mt = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} 12+6*0+0^2
[/mm]
mt = 12
Also die Steigung müsste 12 sein. Da ich die Zahl 5 nicht beachtet habe. Wäre die Zahl 5 noch da wäre die Steigung ja 5. Aber ich gehe jetzt mal von 12 aus.
t [mm] (x_p) [/mm] = mt * [mm] x_p [/mm] +b
13 = 12*2 + b | - 24
13 - 24 = b
b = - 11
Und die Gleichung würde dann lauten :
[mm] t(x_p) 12*x_p [/mm] - 11
Bedanke mich schonmal und naja.
Hoffe es ist richtig :)
MfG,
kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
rein von der Definition her müssen die konstanten Summanden schon mit in den Differenzenquotienten, aber nachdem sie sowohl bei f(x+h) als auch bei f(x) stehen fallen sie natürlich weg, wenn man die Zahlen voneinander abzieht. D.h. eigentlich hast Du sie schon "unterschlagen", aber das macht eigentlich nichts aus.
Der Grund für Daniels anderes Ergebnis bei Aufgabe 2 ist, dass er beim auqadrieren einen Fehler reingebracht hat, denn [mm](2+h)^2=4+4h+h^2[/mm], also so wie bei Dir und nicht ...+2h+..., Dein Ergebnis bei Aufgabe 2 ist also richtig.
Bei der neuen Aufgabe passt das Ergebnis auch, wie man jetzt die 5 schreibtechnisch behandelt ist mehr oder weniger Geschmackssache, aber am Anfang wäre es vielleicht nicht schlecht, sie doch einmal im Ansatz stehen zu haben.
Gruß
piet
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 04.06.2006 | | Autor: | Kristof |
Ui ;)
Super *g*
Da bin ich ja ein wenig beruhigt.
Habe hier noch eine kracher Aufgabe die ich gerade mal gerechnet habe. Wäre super wenn du auch nochmal jemand überprüfen könnte, da ich kein Ergebnis davon habe :(
Also Aufgabe ist die gleiche wie oben :
f (x) = (x-1)³ P (3|8)
f (x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3^2+3x-1
[/mm]
f (3) = 8
ms = f(a+h) - (a)
= [mm] \bruch{(3+h)^3 - (3)^3 + (-3)(3+h)^2 + 3*(3)^2 + 3(3+h)-3*(3)}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{(27+27h+9h²+h³) - (27) + (-27-18h-3h²) + (27) + (9+3h) - (9)}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{12h + 6h^2 + h^3}{h}
[/mm]
Nun klammere Ich h aus :
= [mm] \bruch{h(12 + 6h + h^2}{h}
[/mm]
Und kürze h weg :
= [mm] \bruch{12 + 6h + h^2}{1}
[/mm]
ms = 12 + 6h +h²
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} m_t [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] 12 + 6*0 +0²
[mm] \Rightarrow [/mm] mt = 12
Wäre das so richtig?
Diese Aufgabe fand ich irgendwie richtig schwer, wegen den vielen unbekannten :(
Und die Vorzeichenwechsel.
Hoffe es ist richtig.
Danke schonmal ;)
MfG,
Kristof
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 04.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Ui ;)
> Super *g*
> Da bin ich ja ein wenig beruhigt.
> Habe hier noch eine kracher Aufgabe die ich gerade mal
> gerechnet habe. Wäre super wenn du auch nochmal jemand
> überprüfen könnte, da ich kein Ergebnis davon habe :(
>
> Also Aufgabe ist die gleiche wie oben :
>
> f (x) = (x-1)³ P (3|8)
> f (x) = [mm]x^3[/mm] - [mm]3^2+3x-1[/mm]
Du hast hier ein x² vergessen: (x-1)³ = x³ - 3 x² + 3x - 1
> f (3) = 8
>
> ms = f(a+h) - (a)
>
> = [mm]\bruch{(3+h)^3 - (3)^3 + (-3)(3+h)^2 + 3*(3)^2 + 3(3+h)-3*(3)}{h}[/mm]
>
Woher hast du das 3³ im Zähler?
((3+h) - 1)³ = (3+h)³ - 3 (3+h)² + 3 (3+h) - 1.
Also ist der Zähler (3+h)³ - 3 (3+h)² + 3 (3+h) - 1 - (3-1)³
= [27 + 27h + 9h² + h³] - [27 + 18 h +3h²] + [9 + 3h] - 1 - 8
= 6h + 6h² + h³.
Mit den weiteren Schritten ergibt sich eine Steigung von 6.
>[...]
>
> Danke schonmal ;)
> MfG,
> Kristof
Bitte
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 04.06.2006 | | Autor: | Kristof |
> > Ui ;)
> > Super *g*
> > Da bin ich ja ein wenig beruhigt.
> > Habe hier noch eine kracher Aufgabe die ich gerade mal
> > gerechnet habe. Wäre super wenn du auch nochmal jemand
> > überprüfen könnte, da ich kein Ergebnis davon habe :(
> >
> > Also Aufgabe ist die gleiche wie oben :
> >
> > f (x) = (x-1)³ P (3|8)
> > f (x) = [mm]x^3[/mm] - [mm]3^2+3x-1[/mm]
>
> Du hast hier ein x² vergessen: (x-1)³ = x³ - 3 x² + 3x - 1
Ja, das war allerdings nur ein Tipfehler. Sry
> > f (3) = 8
> >
> > ms = f(a+h) - (a)
> >
> > = [mm]\bruch{(3+h)^3 - (3)^3 + (-3)(3+h)^2 + 3*(3)^2 + 3(3+h)-3*(3)}{h}[/mm]
>
> >
>
> Woher hast du das 3³ im Zähler?
> ((3+h) - 1)³ = (3+h)³ - 3 (3+h)² + 3 (3+h) - 1.
Die [mm] 3^3 [/mm] kommt von der h Methode.
Es heißt doch :
ms = f(a+h) - (a)
In dem Fall ist es das erste da f(x) = x³ ist und x = 3 ist habe ich es so eingesetzt :
ms = [mm] (3+h)^3 [/mm] - [mm] (3)^3 [/mm] bezieht sich ja auf's x ist genau wie bei den späteren [mm] x^2
[/mm]
Wo ist denn da der Fehler?
> Also ist der Zähler (3+h)³ - 3 (3+h)² + 3 (3+h) - 1 -
> (3-1)³
> = [27 + 27h + 9h² + h³] - [27 + 18 h +3h²] + [9 + 3h] - 1
> - 8
> = 6h + 6h² + h³.
>
> Mit den weiteren Schritten ergibt sich eine Steigung von
> 6.
>
> >[...]
> >
> > Danke schonmal ;)
> > MfG,
> > Kristof
>
>
> Bitte
>
> Marius
Dankeschön schnonmal,
MfG,
Kristof
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 04.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Die zu untersuchende Funktion ist (x-1)³ an der Stelle a = 3.
Also ist m = [mm] \bruch{f(3+h) + f(3)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{[(3+h)-1]³ - (3-1)³}{h}.
[/mm]
Und dann komme ich auf mein Ergebnis, dass der Zähler 6h + 6h² + h³ wird.
Ausserdem habe ich die Funktion (x-1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1 mal an der Stelle a=3 untersucht, und komme ebenfalls auf die Steigung 6.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | 1.) f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] + x
2.) f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] + (1)/(x) |
Erstmal zu Aufgabe 1.)
Wir sollen für x einfach immer a einsetzen. Ohne richtige Werte naja.
ms = f( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] ) - f ( [mm] \wurzel{a} [/mm] )/(h) + f (a+h) f(a) / h
= ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] )/(h) + (h)/(h)
Nun erweitere ich den Bruch einfach
= ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] - [mm] \wurzel{a}) [/mm] ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] + [mm] \wurzel{a})/ [/mm] h( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] + [mm] \wurzel{a}) [/mm] + 1
= (a+h-a)/h( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] + [mm] \wurzel{a}) [/mm] + 1
= (1)/( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] + [mm] \wurzel{a} [/mm] )
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} m_t [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm]
(1)/( [mm] \wurzel{a+0} [/mm] + [mm] \wurzel{a} [/mm] )
mt = [mm] (1)/(2*\wurzel{a}) [/mm] + 1
Wäre das so richtig? Ich wusste nich ob man die h-Methode einfach bei jeder Unbekannten anwenden darf. Hätte ich es einfach so Abgeleitet kommt aber das gleicher Ergebnis raus. Deswegen kommt es mir jetzt eigentlich nur darauf an ob die schreibweise so im großen und ganzen richtig ist.
Aufgabe 2.)
Hier komme ich leider nicht richtig weiter.
f (x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] + (1)/(x)
ms = f(a+h) - f(a)/ (h) + f(a+h) - f(a) / (h)
= ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] ) / (h) + ((1)/(a)+h - (1)/(a))/(h)
Nun würde ich sagen das ich den ersten Bruch (den Wurzel a Bruch) erweitere, aber beim zweiten kommt man mit erweitern nicht weiter. Denke aber schon das es die 3. binomische formel ist also a² - b² liege ich da richtig?
= ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] - [mm] \wurzel{a})( \wurzel{a+h} [/mm] + [mm] \wurzel{a})/(h) [/mm] + ?
= (a +h - a)/ h( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] + [mm] \wurzel{a}) [/mm] + ?
Also den 1. Teil der Funktion von f schaffe ich mit der h-Methode, aber den 2. kann ich nur mit der normalen Ableitungsregel. Also er wäre am ende f'(x) - (1)/(x²) aber wie das mit der h-Metode geht weiß ich leider echt nicht.
Bedanke mich jetzt schonmal bei euch,
MfG
Kristof
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kristof |
Weiß denn da keiner wie man das richtig macht?
Mist *heul*
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Hallo Kristof!
Du kannst bei derartigen zusammengesetzten Funktionen die Differenzenquotienten für die Einzelterme separat aufstellen und betrachten:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\left[ \ \wurzel{a+h}+(a+h)\right]-\left[ \ \wurzel{a}+a\right]}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{a+h}-\wurzel{a}}{h}+\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(a+h)-a}{h} [/mm] \ = \ ...$
Für den Wurzeltrerm hast Du mit Erweitern zur 3. binomischen Formel alles richtig gemacht.
Beim 2. Bruch sollte sich mit dem Zusammenfassen das $h_$ kürzen lassen.
Für den Differenzenquotient des Terms [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] musst Du folgendermaßen vorgehen:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{a+h}-\bruch{1}{a}}{h}$
[/mm]
Im Zähler die Teilbrüche durch Erweitern gleichnamig machen und zusammenfassen. Dann kannst Du auch bald ein $h_$ kürzen und die Grenzwertbetrachtung [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ durchführen.
Damit solltest Du auch [mm] $-\bruch{1}{a^2}$ [/mm] erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof!
>
>
> Du kannst bei derartigen zusammengesetzten Funktionen die
> Differenzenquotienten für die Einzelterme separat
> aufstellen und betrachten:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h} \ = \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\left[ \ \wurzel{a+h}+(a+h)\right]-\left[ \ \wurzel{a}+a\right]}{h} \ = \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{a+h}-\wurzel{a}}{h}+\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(a+h)-a}{h} \ = \ ...[/mm]
>
> Für den Wurzeltrerm hast Du mit Erweitern zur 3.
> binomischen Formel alles richtig gemacht.
>
> Beim 2. Bruch sollte sich mit dem Zusammenfassen das [mm]h_[/mm]
> kürzen lassen.
>
>
> Für den Differenzenquotient des Terms [mm]\bruch{1}{x}[/mm] musst Du
> folgendermaßen vorgehen:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{a+h}-\bruch{1}{a}}{h}[/mm]
>
> Im Zähler die Teilbrüche durch Erweitern gleichnamig machen
> und zusammenfassen. Dann kannst Du auch bald ein [mm]h_[/mm] kürzen
> und die Grenzwertbetrachtung [mm]h\rightarrow 0[/mm] durchführen.
Ja, genau da habe ich mein Problem.
Also nehmen wir jetzt mal nur den 2. Teil der Funktion (den ersten verstehe ich soweit ja)
f (x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
ms = [mm] \bruch{f(a+h)-f(a)}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{(1)/(a+h) - (1)/(a)}{h}
[/mm]
Soweit war ich ja oben auch schon ;)
Nun muss ich den Bruch erweitern oder?
= [mm] \bruch{((1)/(a+h)-(1)/(a))*((1)/(a+h)+(1)/(a))}{h((1)/(a+h)+(1)/(a))}
[/mm]
Nun komme ich nicht weiter, weil ich es irgendwie nicht hinbekomme die Therme im Zähler zu multiplizieren. Nach der 3. Binomischen Formel müsste ja rauskommen a² - b²
also : [mm] (\bruch{1}{a+h})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{1}{a})^2 [/mm] oder?
Habe da voll das Blackout, weiß nicht mal wie ich das jetzt rechnen soll :( Brüche waren nie meine stärke *heul*
Wäre lieb wenn ihr mir nochmal helfen könntet.
> Damit solltest Du auch [mm]-\bruch{1}{a^2}[/mm] erhalten.
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>
> Gruß vom
> Roadrunner
Dankeschön schonmal.
MfG,
Kristof
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Hallo Kristof!
Du sollst ja lediglich die beiden Brüche im Zähler gleichnamig machen und entsprechend erweitern:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{a+h}-\bruch{1}{a}}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{\red{a}}{\red{a}*(a+h)}-\bruch{\blue{a+h}}{a*\blue{(a+h)}}}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{a-(a+h)}{a*(a+h)}}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a-a-h}{a*(a+h)*h} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof!
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> Du sollst ja lediglich die beiden Brüche im Zähler
> gleichnamig machen und entsprechend erweitern:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{a+h}-\bruch{1}{a}}{h} \ = \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{\red{a}}{\red{a}*(a+h)}-\bruch{\blue{a+h}}{a*\blue{(a+h)}}}{h} \ = \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{a-(a+h)}{a*(a+h)}}{h} \ = \ \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a-a-h}{a*(a+h)*h} \ = \ ...[/mm]
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Okay, das habe ich jetzt verstanden.
Gerade nochmal gerechnet und es kam auch das gleiche Ergebnis raus. Nur ich brauchte um mir das zu verdeutlichen viel mehr Rechenschritte.
Schreibe die mal hier rein, vielleicht ist ja was falsch.
Wäre super wenn es jemand überprüft.
[mm] \bruch{((1)/(a+h)-(1)/(a))}{h} [/mm]
= [mm] \bruch{((a)/(a*(a+h))-(a+h)/(a*(a+h)))}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{(a-(a+h))/(a*(a+h))}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{(a-a-h)/(a*(a+h))}{h}
[/mm]
Nun kürze ich das h weg :
= [mm] \bruch{-1/a(a+h)}{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{-1}{a²+a*h}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] = mt [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] {-1}{a²+a*0}
= {-1}{a²+0}
mt = -1/a²
Wäre nochmal super wenn's jemand überprüft.
MfG
Kristof
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 06.06.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kristof!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Und (viel) kürzer geht das auch nicht ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Kristof!
> = [mm]\bruch{\bruch{2a}{a+h}-\bruch{2a+h}{a}}{h}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{2a-(2a+h)}{a+h (a)}}{h}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das muss heißen: $... \ = \ [mm] \bruch{\bruch{2*a}{a*(a+h)}-\bruch{2*(a+h)}{a*(a+h)}}{h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{2*a-2a-2h}{a*(a+h)}}{h} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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, wenn du dich mal mit unserem 