häufungspunkte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
guten tach!
kommen wir mal wieder direkt zur sache:ich hab probleme bei der bestimmung von häufungspunkten!
a.) z= [mm] \bruch{1}{n}+ [/mm] in
b.) z= [mm] e^{in \pi/3}
[/mm]
wie mach ich das? muß ich den limes bilden?besonders im fall b hab ich probleme, muß ich auf einen festen punkt kommen???oder kann das ergebnis auch unendlich lauten???
gruß
superkermit
|
|
| |
|
Hallo superkermit,
Wenn der Grenzwert unendlich ist dann gibt's sicher keinen Häufungspunkt.
Das es sich bei deiner Aufgabe um komplexe Zahlen handeln soll ist Dir schon aufgefallen oder?
zu b) noch ein Hinweis:
[mm] e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Morgännn!
an der b hab ich mich mal wie folgt versucht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} cos(\bruch{n\pi}{3})+i \limes_{n\rightarrow\infty}sin(\bruch{n\pi}{3})
[/mm]
= -0.5+ i (-0.5* [mm] \wurzel{3})
[/mm]
und dann hab ich noch eine weitere aufgabe im buch aufgetan: [mm] \bruch{1-i}{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}1/n [/mm] -i [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/n=0-0i=0 [/mm]
sind meine rechenwege und lösungen richtig? dann werd ich mich jetzt mal auf die a stürzen!
gruß
superkermit
|
|
|
| |
|
Hallo superkermit,
die zweite Aufgabe ist richtig gelöst.
Im ersten Fall ist deine Schreibweise mit [mm] $\lim$ [/mm] nicht korrekt, weil es keinen Grenzwert gibt.
Nur wenn eine Folge einen einzigen H"aufungspunkt hat, spricht man von einem Grenzwert.
Die Folge +1, -1, +1, -1,... hingegen hat keinen Grenzwert, stattdessen nennt man die beiden Zahlen +1 und -1 ihre Häufungspunkte. So kann man auch für Folgen ohne Grenzwert gewisse aussagen über unendlich oft wiederkehrende Folgenglieder treffen.
Auch die Folge 1, 1, [mm] \frac{1}{2} [/mm] , 1, [mm] \frac{1}{2} [/mm] , [mm] \frac{1}{3} [/mm] , 1, [mm] \frac{1}{2} [/mm] , [mm] \frac{1}{3} [/mm] , [mm] \frac{1}{4} [/mm] , usw. hat keinen Grenzwert, sondern nur H"aufungspunkte.
Die Zahlen 1, [mm] \frac{1}{2} [/mm] , [mm] \frac{1}{3} [/mm] , usw. werden unendlich oft angenommen, sind also Häufungspunkte. Dazu kommt noch der Häufungspunkt 0, denn in der Originalfolge gibt es eine Teilfolge (1, [mm] \frac{1}{2} [/mm] , [mm] \frac{1}{3} [/mm] ,...), die diesen Wert also Grenzwert hat.
Die Folge [mm] $e^{i{\cdot}n\cdot\frac{\pi}{3}}$ [/mm] hat keinen Grenzwert, die Schreibweise mit [mm] $\lim$ [/mm] macht also keinen Sinn. Du musst dir überlegen, ob es Werte gibt, die unendlich oft angenommen werden oder ob es Teilfolgen gibt, die einen Grenzwert besitzen.
Noch ein letztes Beispiel:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=(-1)^n\cdot(1+\frac{1}{n})$ [/mm] hat keinen Grenzwert, weil die Differenz aufeinanderfolgender Glieder immer größer als 2 ist. Es gibt auch keinen Wert, der unendlich oft angenommen wird, genauer gesagt sind sogar alle Folgenglieder voneinander verschieden. Dennoch gibt es zwei Häufungspunkte: für gerade $n$ konvergiert die Teilfolge gegen +1, für ungerade $n$ gegen -1.
Hugo
|
|
|
| |
|
hi!
wie würdest du das denn geschickt hinschreiben? wenn ich dich richtig verstanden habe, dann gibt es zwei ergebnisse: 0.5+ [mm] i(0.5*\wurzel{3}) [/mm] und -0.5+ [mm] i(-0.5*\wurzel{3}) [/mm] stimmt das wenigstens oder gibt es gar noch mehr häufungspunkte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo superkermit!
Es handelt sich um die Folge der 6-ten Einheitswurzeln, die periodisch angenommen werden (mit Periode 6). Daher ist klar, dass genau alle angenommenen Werte, also die sechs 6-ten Einheitswurzeln
[mm] $e^{i \, \frac{k\pi}{3}}$ [/mm] , $k=0,1,2,3,4,5$,
die Häufungspunkte sind.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
mir ist irgendwie völlig rätselhaft wie man darauf kommt , woher weiß ich das mit der wurzel ?
gruß
superkermit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, einer meiner beiden besten Freunde hat morgen (ja, samstags!) eine Art Lehrprobe (in der Schweiz, dort will er nämlich hin), wo er das mit seinen Schülern macht. 
Ansonsten ist es Allgemeinwissen (Erstsemesterstoff).
Naja, man kann sich aber dich schnell überlegen, dass für $k [mm] \in \{0,1,\ldots,n-1\}$
[/mm]
[mm] $\left( e^{\frac{2\pi i k}{n}} \right)^n [/mm] = [mm] e^{2\pi i k} [/mm] = 1$
gilt, oder nicht?
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
