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halbe Kugel: Aufgabe 2
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:12 Fr 09.10.2009
Autor: slipwalka

Aufgabe
D sei eine halbe (offene) Kugel x²+y²+(z-1)²=1, [mm] z\ge1. [/mm] Berechnen Sie:

J= [mm] \integral_{D}^{}{[x,y,z] \*dS} [/mm]

Die Fläche dS ist nach oben gerichtet.

Hallo Mathefreunde,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt,

hier ist, wie angekündigt meine zweite Anfrage bzw. Aufgabe. Um zu erkären warum ich keine Ansätze präsentiere meinen Text aus der ersten Aufgabe kopiert:

Ich würde euch gerne meine eigenen Lösungsansätze präsentieren, aber wenn ich welche hätte, würde ich möglicherweise gar nicht hier posten müssen. Ich habe inklusive dieser 4 Übungsaufgaben, die sich ähneln, die ich auch noch posten werde. Ich hoffte anhand dieser Aufgaben, mir das Thema selbst beibringen zu könen, aber offenbar kann ich das nicht.
Daher würde ich mich freuen, wenn sich jemand mit mir zusammen diesem Thema widmen könnte, sodass ich die Aufgaben und Lösungswege verstehe. In der Hoffnung, meine nächsten Übungsblätter selbst lösen zu können.
Wenn niemand antwortet, da ich keine Ansätze habe, kann ich das natürlich auch verstehen, da ja deutlich daraufhin gewiesen wird. Aber nochmal, ich möchte verstehen die Aufgaben zu lösen, einfach nur Lösungen helfen mir für die Zukunft ja auch nicht.

Ich danke allen, die sich meiner annehmen.

        
Bezug
halbe Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Fr 09.10.2009
Autor: pelzig


> J= [mm]\integral_{D}^{}{[x,y,z] \*dS}[/mm]
>  
> Die Fläche dS ist nach oben gerichtet.

Also so wie es da steht macht es keinen Sinn. Was soll [mm] [x,y,z]\*dS [/mm] sein?
Meinst du vielleicht [mm] $\int_{\partial D}x\cdot [/mm] dS$, also das Oberflächenintegral über den Rand der Halbkugel?

Gruß, Robert

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Bezug
halbe Kugel: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 22:55 Fr 09.10.2009
Autor: slipwalka

Es ist genauso in meinem Buch abgebildet. Daher weiß ich nicht ob das Buch das von dir genannte Oberflächenintegral meint.

Bezug
                        
Bezug
halbe Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:37 Sa 10.10.2009
Autor: pelzig

Also Sorry, aber abgesehen davon dass du keine eigenen Lösungsansätze hast, scheinst du nicht mal ne grobe Vorstellung zu haben worum es in der Aufgabe geht. So funktioniert das hier ganz sicher nicht. Selbst wenn jetzt hier jemand die richtige Aufgabenstellung errät, wirst du die Lösung wahrscheinich nicht verstehen.

Gruß, Robert

Bezug
                                
Bezug
halbe Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:31 Sa 10.10.2009
Autor: slipwalka

Hallo,

schade, dass du mich so einschätzt.
Ich habe auch nicht nach Lösungen gefragt, sondern nur nach Ansätzen und evtl. einer kurzen Erläuterung, damit ich weiß wie man darauf kommt und sie folglich selbst anwenden kann.
Leider hast du in meinen Ohren etwas gesagt wie, "versuche nicht es zu lernen, du schaffts es nicht und deswegen vergeude ich keine zeit an dir."
Ich habe die Aufgabenstellung noch einige Male überprüft.
Meine Absicht war auch nicht einen derartigen Unmut hervor zurufen, da ich ein hilfsbereiter Mensch bin, auch wenn einmal jemand unter meinem Wissensstand (gibt auch andere Fächer als Mathe) steht.
Mir war auch aufgefallen, dass du bei deiner ersten Antwort die Aufgabe nur teilweise zitiert hast und möglicherweise den ersten Satz der Aufgabe übersehen?

Gruß  

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Bezug
halbe Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:15 So 11.10.2009
Autor: pelzig

Tut mir Leid falls du dich von mir angegriffen gefühlt hast. Hast mich wohl in einem schlechten Moment erwischt. Habe auch übersehen, dass du ganz neu hier bist, in solchen Fällen sind wir eigentlich immer extra-freundlich :-)

Ich habe mir die Aufgabe nochmal angesehen und jetzt ist mir auch klar dass es wohl ein Oberflächenintegral sein muss. Das Problem ist einfach, dass mir wirklich nicht klar ist was dieses [mm] $[x,y,z]\*dS$ [/mm] bedeuten soll. Warum stehen da eckige Klammern? Was soll der [mm] $\*$ [/mm] bedeuten? Und was soll diese Bemerkung "dS ist nach oben gerichtet bedeuten"?

Habt ihr denn z.B. den Satz von Gauß bzw. den Satz von Stokes behandelt? Du müsstest einfach mal mehr Informationen rausrücken was ihr zu dem Thema so gemacht habt.

Gruß, Robert

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Bezug
halbe Kugel: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:42 So 11.10.2009
Autor: slipwalka

Hallo,

ich wollte ja auch niemanden hier verärgern...

Also der * solle nur ein mal sein, war im Buch habe ích einfach ohne zu überlegen übernommen und. dS ist ja der Querschnitt, der halben Kugel, als die Fläche des Querschnitts, warum, erwähnt wird, dass sie nach oben gerichtet ist, weiß ich auch nicht, aber möglciherweise nicht so wichtig. Hatte ich schon häufiger bei den Aufgaben. Die Frage ist ja auch, was soll überhaupt integriert werden, ich denke, die Fläche dS. Kann es sein, dass die Parameter in den eckigen Klammern angeben sind, weil sie einzeln integriert werden müssen? Sprich die Gleichung oben umstellen und dann in das Inegral einsetzen?

Gruß

Malte



Bezug
                
Bezug
halbe Kugel: Ratespiel ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 So 11.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Also der * solle nur ein mal sein, war im Buch habe ích
> einfach ohne zu überlegen übernommen und. dS ist ja der
> Querschnitt, der halben Kugel, als die Fläche des
> Querschnitts, warum, erwähnt wird, dass sie nach oben
> gerichtet ist, weiß ich auch nicht, aber möglciherweise
> nicht so wichtig. Hatte ich schon häufiger bei den
> Aufgaben. Die Frage ist ja auch, was soll überhaupt
> integriert werden, ich denke, die Fläche dS. Kann es sein,
> dass die Parameter in den eckigen Klammern angeben sind,
> weil sie einzeln integriert werden müssen? Sprich die
> Gleichung oben umstellen und dann in das Inegral
> einsetzen?
>  
> Gruß
>  
> Malte


Hallo Malte,

so wie ich es verstehe, ist mit D die obere Hälfte der
Kugelfläche gemeint. Übrigens ist dieses Flächenstück
nicht "offen" im topologischen Sinn, sondern abge-
schlossen.
Mit dem dS ist vermutlich das vektorielle Flächenele-
ment gemeint, welches an jeder Stelle von D ein radial
nach aussen zeigender infinitesimaler Vektor ist.
Was aber mit [x,y,z] gemeint sein mag, kann ich nur
raten. Soll dies der Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] sein ? In diesem Fall
könnte man den Stern als Skalarprodukt interpretieren.

Aber siehst du das Problem:  Es ist äusserst unbe-
friedigend, wenn man eine mathematische Aufgabe
mit einem großen Ratespiel beginnen muss !

Mit meinen dargelegten Annahmen hätte man dann
eine vernünftige Aufgabenstellung. Was aber, falls
doch etwas anderes gemeint war ?

LG    Al-Chw.

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Bezug
halbe Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 So 11.10.2009
Autor: slipwalka

Hallo,

ja ein Ratespiel findet niemand toll, das stimmt. Aber dank deiner Vermutung, habe ich mal in den hinteren Teil des Buches geschaut, in dem Zeichen- und Begriffserklärungen sind.
Es ist tatsächlich der Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] und das Skalarprodukt gemeint.

Aber wie es denn das Skalarprodukt zwischen dem Vektor und dS zu verstehen?


Danke soweit.

Bezug
                                
Bezug
halbe Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 So 11.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ja ein Ratespiel findet niemand toll, das stimmt. Aber dank
> deiner Vermutung, habe ich mal in den hinteren Teil des
> Buches geschaut, in dem Zeichen- und Begriffserklärungen
> sind.
> Es ist tatsächlich der Vektor [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] und das
> Skalarprodukt gemeint.
>  
> Aber wie es denn das Skalarprodukt zwischen dem Vektor und
> dS zu verstehen?
>  
>
> Danke soweit.


Naja, dann habe ich ja wenigstens richtig geraten ...

Das vektorielle Flächenelement [mm] \overrightarrow{dS} [/mm] müsste nun an jeder
Stelle der Halbkugenfläche ein radial nach außen zei-
gender Vektor sein, dessen (infinitesimaler) Betrag
dem Flächeninhalt des infinitesimalen Flächenelements
ist, für welches er steht. Um das darzustellen, ver-
wendet man am besten Kugelkoordinaten. Die Fläche D
kann so parametrisiert werden:


      [mm] $\vec{r}\,(\varphi,\theta)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{sin\,\theta\ cos\,\varphi\\sin\,\theta\ sin\,\varphi\\1+cos\,\theta}$ [/mm]

mit  [mm] $0\le\varphi<2\,\pi$ [/mm]  und [mm] $0\le\theta\le\pi/2$ [/mm]


Das Flächenelement ist dann

     $dS\ =\ [mm] R^2*sin(\theta)\ d\theta\, d\varphi$ [/mm]    $\ (R=1)$

und

     [mm] $\overrightarrow{dS}\ [/mm] =\ [mm] sin(\theta)\ d\theta\, d\varphi*\vektor{sin\,\theta\ cos\,\varphi\\sin\,\theta\ sin\,\varphi\\cos\,\theta}$ [/mm]

Aus dem Integral J wird damit:

     $\ J\ =\ [mm] \integral_D \vec{r}*\overrightarrow{dS}$ [/mm]

      $=\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{\theta=0}^{\pi/2} \pmat{sin\,\theta\ cos\,\varphi\\sin\,\theta\ sin\,\varphi\\1+cos\,\theta}*\vektor{sin\,\theta\ cos\,\varphi\\sin\,\theta\ sin\,\varphi\\cos\,\theta}*sin(\theta)\ d\theta\, d\varphi$ [/mm]

Das steht nun das Flächenintegral in seiner vollen Pracht.
Gewisse Gemüter würden spätestens hier verzagen, aber
ganz zu unrecht und absolut im falschen Moment, denn
gleich der nächste Schritt bringt eine erhebliche Verein-
fachung !

LG     Al-Chw.


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