halbgeordnete Menge < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 14.01.2008 | | Autor: | puky |
| Aufgabe | Es sei [M,<=] eine halbgeordnete Menge und A ist Teilmenge von M.
Definieren Sie die folgenden Begriffe:
obere Schranke, Maximum, Supremum und maximales Element - von A. |
Hi,
ich weiss noch nich mal was das is. Kann mir das vielleicht mal einer erklären?
lg puky
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Hallo!
Eine halbgeordnete Menge ist eine Menge X, auf der eine Halbordnung [mm] \le [/mm] definiert ist. Wobei eine Halbordnung eine Relation ist, die die unten genannten Eigenschaften erfüllt. Wichtig ist, dass es bei Halbordnungen auch Elemente x,y [mm] \in [/mm] X geben kann, für die keine Beziehung hergestellt werden kann.
Eine Relation [mm] \le [/mm] , die die Eigenschaften einer Halbordnung erfüllt, ist eine Totalordnung (auf der Menge X), wenn für alle x,y [mm] \in [/mm] X gilt, dass
x [mm] \le [/mm] y oder y [mm] \le [/mm] x
Eine Halbordnung auf einer Menge ist eine Relation, die folgendes erfüllt
1) x [mm] \le [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
2) Gilt x [mm] \le [/mm] y und y [mm] \le [/mm] x dann ist x = y
3) Wenn x [mm] \le [/mm] y und y [mm] \le [/mm] z, so gilt x [mm] \le [/mm] z
Wobei mit [mm] \le [/mm] einfach eine Relation ist, und nicht unbedingt "kleiner-gleich".
Das einfachste Beispiel für eine halbgeordnete Menge (die sogar eine total geordnete Menge ist) ist [mm] \IR [/mm] mit der Relation "kleiner-gleich".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 14.01.2008 | | Autor: | puky |
Dank dir erstmal für deine Antwort, aber ich hab eher das obere Schranke,
Maximum, Supremum und maximales Element gemeint.
fg puky
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Hallo!
Der Begriff "obere Schranke" ist sehr einleuchtend: Ein Element [mm]K \in M[/mm] heißt obere Schranke für die Teilmenge [mm]A \subset M[/mm], wenn [mm]a \leq K[/mm] für alle [mm]a \in A[/mm] gilt. Es ist also bezüglich der Relation jedes Element aus [mm]A[/mm] kleiner oder gleich der oberen Schranke [mm]K[/mm]. Beispiel reelle Zahlen: [mm]M = \IR, A = [0,2].[/mm] Dann ist z.B. 3 eine obere Schranke, denn für alle Zahlen [mm]a \in [0,2][/mm] gilt [mm]a \leq 3[/mm], ebenso wären 4, 7 oder auch [mm]\pi[/mm] obere Schranken.
Auch das "maximale Element" ist noch anschaulich: Ein Element [mm]K \in A[/mm] heißt maximales Element in [mm]A[/mm] genau dann, wenn aus [mm]x \geq a[/mm] mit [mm]x \in A[/mm] immer schon [mm]x = a[/mm] folgt, d.h. wenn man kein bezüglich der Ordnung größeres Element als [mm]a[/mm] finden kann. Es ist beispielsweise 2 das maximale Element von [mm][0,2][/mm] als Teilmenge der reellen Zahlen.
Ein "Supremum" hat etwas mit der oberen Schranke zu tun. Ein Element [mm]K \in M[/mm] heißt Supremum der Menge [mm]A[/mm], wenn es die kleinste obere Schranke für [mm]A[/mm] ist. Ein Supremum von [mm]A[/mm] KANN, muss aber nicht selbst in [mm]A[/mm] liegen. Zwei Beispiele dazu: Betrachte die abgeschlossene Menge [mm][0,2].[/mm] Dann ist die 2 eine obere Schranke und auch schon die kleinste obere Schranke für [mm]A[/mm], also ein Supremum, welches in [mm]A[/mm] liegt. SChaut man sich jedoch die offene Menge [mm]]0,2[[/mm] an, so ist ebenfalls 2 das Supremum, diesmal liegt es jedoch nicht in der Menge.
Ich hoffe, das macht es ein bischen klarer 
Grüße,
MEtalCHuck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Di 15.01.2008 | | Autor: | puky |
Ja macht es auf jeden Fall. Danke dir, endlich mal einer der einem das in verständlichem Deutsch erklärt.
fg puky
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