halbstetigkeit von unten < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | f,g sind halbstetig von unten. Zeige, dass
(i) af, a>0
(ii) f+g
(iii) inf(f,g)
(iv) f°A mit A : [mm] R^m [/mm] -> [mm] R^n
[/mm]
wieder halbstetig von unten sind. |
Hallo,
wir haben für "halbstetig von unten" verschiedene Kriterien, ich hab es mal versucht mit dieser Def zu zeigen:
f ist halbstetig von unten, wenn [mm] f(x_0) \leq \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) [/mm] für jede Folge [mm] x_n [/mm] mit [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] gilt.
(i) [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] a [mm] f(x_n) [/mm] = a [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \geq [/mm] a [mm] f(x_0)
[/mm]
(ii) [mm] \lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n) [/mm] + [mm] g(x_n)) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) [/mm] + [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} g(x_n) \geq f(x_0) [/mm] + [mm] g(x_0)
[/mm]
(iii)
hier habe ich benutzt dass f halbstetig von unten ist genau dann wenn die levelsets [mm] lev_a [/mm] f= [mm] \{x: f(x) \leq a} [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] R abgeschlossen sind:
[mm] lev_a inf\{f,g\} [/mm] = [mm] lev_a [/mm] f [mm] \cup lev_a [/mm] g und die sind jeweils abgeschlossen weil ja f lsc ist und die endliche Vereinigung abgl Mengen ist wieder abgl.
(iv)
se g(x) = f(A(x))
[mm] g(x_0) [/mm] = g( [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n) [/mm] = f (A [mm] (\lim_{n \rightarrow \infty} x_n)) [/mm] = f [mm] \lim_{n \rightarrow \infty}A(x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f(A(x_n)) \geq f(A(x_0)) [/mm] = [mm] g(x_0)
[/mm]
Stimmt das alles so? Darf man diese "Rechenregeln für Grenzwerte" auch hier benutzen?
Viele Grüße,
Riley
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Hi,
> f,g sind halbstetig von unten. Zeige, dass
> (i) af, a>0
> (ii) f+g
> (iii) inf(f,g)
> (iv) f°A mit A : [mm]R^m[/mm] -> [mm]R^n[/mm]
> wieder halbstetig von unten sind.
> Hallo,
> wir haben für "halbstetig von unten" verschiedene
> Kriterien, ich hab es mal versucht mit dieser Def zu
> zeigen:
> f ist halbstetig von unten, wenn [mm]f(x_0) \leq \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)[/mm]
> für jede Folge [mm]x_n[/mm] mit [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} x_n[/mm] =
> [mm]x_0[/mm] gilt.
>
> (i) [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}[/mm] a [mm]f(x_n)[/mm] = a [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \geq[/mm]
> a [mm]f(x_0)[/mm]
>
> (ii) [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_n)[/mm] + [mm]g(x_n))[/mm] = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)[/mm]
> + [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} g(x_n) \geq f(x_0)[/mm] + [mm]g(x_0)[/mm]
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> (iii)
> hier habe ich benutzt dass f halbstetig von unten ist
> genau dann wenn die levelsets [mm]lev_a[/mm] f= [mm]\{x: f(x) \leq a}[/mm]
> für alle a [mm]\in[/mm] R abgeschlossen sind:
> [mm]lev_a inf\{f,g\}[/mm] = [mm]lev_a[/mm] f [mm]\cup lev_a[/mm] g und die sind
> jeweils abgeschlossen weil ja f lsc ist und die endliche
> Vereinigung abgl Mengen ist wieder abgl.
sollte stimmen, ja.
>
> (iv)
> se g(x) = f(A(x))
> [mm]g(x_0)[/mm] = g( [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} x_n)[/mm] = f (A
> [mm](\lim_{n \rightarrow \infty} x_n))[/mm] = f [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}A(x_n)[/mm]
> = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f(A(x_n)) \geq f(A(x_0))[/mm] =
> [mm]g(x_0)[/mm]
>
> Stimmt das alles so? Darf man diese "Rechenregeln für
> Grenzwerte" auch hier benutzen?
nein, das geht so nicht. so herumwirbeln mit den grenzwerten geht ja gerade nur, wenn die funktion 'richtig' stetig sind. (bei dir steht uebrigens ganz links und rechts das gleiche - [mm] g(x_0) [/mm] - du haettest also gleichheit bewiesen)
bevor ich hier jetzt lange herumknobele: was ist denn noch fuer die abbildung $A$ vorausgesetzt? fuer beliebiges A gilt die aussage naemlich bestimmt nicht...
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Do 13.03.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias,
danke für deine Korrektur. Ohja, da hab ich mich wirklich im Kreis gedreht. Also für A ist vorausgesetzt, dass sie stetig ist und von [mm] R^m [/mm] -> [mm] R^n [/mm] abbildet. Ich weiß mit dieser Kringel-Verknüpfung nicht weiter, kann man das als f(A(x)) schreiben?
Aber mit den Grenzwerten hab ich bei (i) und (ii) ja auch "herumgewirbelt" , auch wenn f und g selbst nur halbstetig sind und nicht "richtig" ?
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:50 Do 13.03.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ich hab gleich noch ein paar Fragen dazu, hab ich das so richtig verstanden:
(i) wenn hier a < 0 wäre, dann würd sich das ja gerade umdrehen, kann man sagen dass af dann oberhalbstetig ist?
(ii) was ist wenn hier f-g statt f+g wäre? dürfte man dann genauso mit den limites arbeiten?
(iii) was wäre wenn wir das infimum über unendlich viele Funktionen anschauen würden? Weil die unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist ja nicht unbedingt wieder abgeschlossen, oder?
(iv) bei der Kringel-Verknüpfung, was wäre wenn das gerade andersherum wäre, also A°f? funktioniert das dann nur wenn A stetig und monoton steigend ist?
Sorry für die vielen Fragen...
Viele Grüße,
Riley
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Hallo Riley,
> Hi Matthias,
> danke für deine Korrektur. Ohja, da hab ich mich wirklich
> im Kreis gedreht. Also für A ist vorausgesetzt, dass sie
> stetig ist und von [mm]R^m[/mm] -> [mm]R^n[/mm] abbildet. Ich weiß mit dieser
> Kringel-Verknüpfung nicht weiter, kann man das als f(A(x))
> schreiben?
ja, das ist nichts anderes.
>
> Aber mit den Grenzwerten hab ich bei (i) und (ii) ja auch
> "herumgewirbelt" , auch wenn f und g selbst nur halbstetig
> sind und nicht "richtig" ?
doch, das ist schon richtig. bei i) und ii) hast du nur den grenzwert mit der addition und multiplikation vertauscht, das darf man immer (falls existent). aber den grenzwert in eine funktion reinziehen darf man halt nur genau dann, wenn die fkt. stetig ist (so ist stetigkeit ja definiert).
wenn A stetig ist, ist die aufgabe nicht so schwer. zz.
[mm] $\lim f(A(x_n))\ge f(A(x_0))$
[/mm]
aufgrund der stetigkeit von A geht [mm] $A(x_n)\to A(x_0)$. [/mm] definiere also einfach [mm] $y_n:=A(x_n)$ [/mm] und wende die voraussetzung von f auf die folge [mm] $y_n$ [/mm] an.
>
> Viele Grüße,
> Riley
gruss
matthias
PS: nimms mir nicht uebel, aber deine anderen fragen werde ich jetzt nicht beantworten. Habe auch einen job zu erledigen... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:19 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias,
cool, danke, das hab ich jetzt geblickt! *freu*
Viele Grüße,
Riley
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