harmonische Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Es seien [mm] D:=B_R(z_0) [/mm] eine offene Kugel im [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] u:D\to\IR [/mm] eine nichtnegative harmonische Funktion auf D. Zeige, dass dann die folgende Ungleichung gilt:
[mm] u(z)\le(\bruch{R}{R-|z-z_0|})^2u(z_0) [/mm] für alle [mm] z\in [/mm] D.
Wer kann mir sagen, wie ich hier anfange?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Diese Aufgabe ist endlich mal so richtig einfach. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
OBdA sei [mm] $z_0=0$. [/mm] Es sei $0 <r<R$ beliebig gewählt. Dann gilt nach der Poissonschen Integralformel für alle $z [mm] \in D_R(z_0)$:
[/mm]
$u(z) [mm] =\frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} u(re^{i\zeta}) \frac{r^2 - |z|^2}{|re^{i\zeta} - z|^2}\, d\zeta \le \frac{1}{2\pi} \frac{r^2}{(r-|z|)^2} \int\limits_0^{2\pi} [/mm] u [mm] (re^{i\zeta}) d\zeta [/mm] = [mm] \left( \frac{r}{r-|z|} \right)^2 [/mm] u(0)$,
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Mittelwertgleichung für harmonische Funktionen und die Ungleichung aus der umgekehrten Dreiecksungleichung [mm] $|re^{i\zeta} [/mm] - z| [mm] \ge |re^{i\zeta}| [/mm] - |z| = r - |z|$ ergibt.
Die Behauptung folgt nun, indem man in dieser Ungleichung $r [mm] \uparrow [/mm] R$ streben lässt.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Di 28.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > Es sei [mm]0
> > Poissonschen Integralformel für alle [mm]z \in D_R(z_0)[/mm]:
> >
> > [mm]u(z) =\frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} u(\zeta) \frac{r^2 - |z-z_0|^2}{|\zeta - (z-z_0)|^2}\, d\zeta \le \frac{1}{2\pi} \frac{r^2}{(r-|z-z_0|)^2} \int\limits_0^{2\pi} u (\zeta) d\zeta = \left( \frac{r}{r-|z-z_0|} \right)^2 u(z_0)[/mm],
>
> >
> > wobei sich die letzte Gleichheit aus der
> > Mittelwertgleichung für harmonische Funktionen ergibt.
Hier sind ein paar Schreibfehler drinnen. Eigentlich wollte ich statt [mm] $\zeta$ [/mm] ein paar mal [mm] $\xi$ [/mm] schreiben, und dann unten [mm] $\xi=z_0 [/mm] + [mm] e^{i\zeta}$ [/mm] erklären. Das ist mir dann irgendwie durch die Lappen gegangen. Aber ich habe es jetzt im alten Beitrag korrigiert.
Dort steht jetzt eine vollständige und hoffentlich richtige Lösung.
> Also, als Poissonsche Integralformel habe ich hier stehen:
> [mm]f(x)=\integral_{\partial{B_R(0)}}f(y)P_R(x,y)dS(y)[/mm] mit
> [mm]P_R(x,y)=\bruch{1}{2\pi R}\bruch{||y||^2-||x||^2}{||y-x||^2}[/mm]
>
> Also um auf das erste Gleichheitszeichen zu kommen: wo
> bleibt das R im Nenner?
Bei dir ist es eben eine andere Darstellung, als Integral über den Rand $dS(y)$ der Kreisscheibe. Ich hatte den Rand der Kreisscheibe parametrisiert. Nimm lieber meine Darstellung der Poissonschen Integralformel, die ist "funktionentheoretisch kompatibler" und wird so daher etwa auch im Fischer/Lieb angegeben, den du dir unbedingt mal zulegen und von vorne bis hinten durcharbeiten solltest (wirklich). Deine Darstellung entspricht eher einem "höheren analytischen Standpunkt".
> Kann ich die 0 für meine Aufgabe
> einfach durch [mm]z_0[/mm] ersetzen? Irgendwie blicke ich da noch
> nicht so ganz durch...
Ich habe jetzt einfach mal oBdA [mm] $z_0=0$ [/mm] angenommen um diese (rein technische) Schwierigkeit zu umgehen.
> Und wie kommt bei dem [mm]\le[/mm] das r im Nenner statt dem [mm]\xi[/mm]
> her?
Das ist die (umgekehrte) Dreiecksungleichung im Nenner.
> Und als Mittelwerteigenschaft habe ich hier stehen:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2\pi}\integral_0^{2\pi}f(x+re^{it})\;dt[/mm] -
> ist dann hier [mm]re^{it}=0?[/mm]
Jetzt sollte das klar sein, nach meiner Verbesserung. 
>
> > Die Behauptung folgt nun, indem man in dieser Ungleichung [mm]r \uparrow R[/mm]
> > streben lässt.
> Und das folgt dann sofort, oder kann man da noch einen
> Zwischenschritt angeben?
Ich denke das genügt dann so.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
