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| Aufgabe | [mm] \nabla [/mm] u=0
zeige, dass die folgende Funktion harmonsiche Funktion ist.
[mm] u:\IR^n \{0} \to \IR, [/mm] u(x):= [mm] |x|^{2-n} [/mm] |
Eine Funktion ist harmonscih, wenn u nach allen variablen zweimal partiell differenzierbar ist und die Summe aller zweifach partiellen Ableitung nacg einer Variablen gleich Null ist.
Das hab ich verstanden, ich komme nur mit diesem Beispiel aus dem [mm] \IR^n [/mm] nicht klar.
[mm] |x|^{2-n} [/mm] = [mm] (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{\bruch{1}{2}+(2-n)}
[/mm]
Stimmt das so?
das müsste ich ja dann nach der Kettenregel ableiten, also für alle n die 2.partiellen Ableitungen. Das krieg ich nicht so recht hin.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:22 So 29.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\nabla[/mm] u=0
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> zeige, dass die folgende Funktion harmonsiche Funktion
> ist.
>
> [mm]u:\IR^n \{0} \to \IR,[/mm] u(x):= [mm]|x|^{2-n}[/mm]
> Eine Funktion ist harmonscih, wenn u nach allen variablen
> zweimal partiell differenzierbar ist und die Summe aller
> zweifach partiellen Ableitung nacg einer Variablen gleich
> Null ist.
>
> Das hab ich verstanden, ich komme nur mit diesem Beispiel
> aus dem [mm]\IR^n[/mm] nicht klar.
>
> [mm]|x|^{2-n}[/mm] = [mm](x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{\bruch{1}{2}+(2-n)}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja
>
> das müsste ich ja dann nach der Kettenregel ableiten, also
> für alle n die 2.partiellen Ableitungen. Das krieg ich
> nicht so recht hin.
Dann zeig doch mal, was Du gemacht hast.
FRED
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>
> MfG
> Mathegirl
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Das müsste man vermutlich irgendwie mit Summenzeichen schreiben.
Es geht ja hierbei um die zweiten partiellen Ableitungen die zu bilden sind.
Nehme ich mal [mm] x_1^2
[/mm]
[mm] (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{\bruch{1}{2}+2-n}=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{\bruch{5}{2}-n}
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x_1}=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{\bruch{3}{2}-n}*2x_1
[/mm]
[mm] \bruch{\delta^2 f}{\delta x \delta x}= (-50nx_1+20n^2x_1)*(x_1^2+x_2^2+..+x_n^n)^{\bruch{3}{2}-n}+(5x_1-2nx_1)*{\bruch{3}{2}-n}*(x_1^2+x_1^2+...+x_n^2)^{\bruch{1}{2}-n}*2x_1
[/mm]
Und das müsste ich ja für alle [mm] x_n^2 [/mm] machen....
Aber das kann ja so nicht stimmen....
Mfg
Mathegirl
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Hiho,
davon ab, dass dein Ansatz ja schon verkehrt ist (wie in meiner Mitteilung geschrieben), würde mich mal deine Antwort auf:
> Und das müsste ich ja für alle [mm]x_n^2[/mm] machen....
>
> Aber das kann ja so nicht stimmen....
interessieren.
Warum sollte das nicht stimmen?
Mach es bis zum Ende und erst, wenn du weißt, dass da nicht Null herauskommt, weißt du, dass du falsch gerechnet hast 
Desweiteren stimmt deine erste partielle Ableitung auch nicht:
> $ [mm] \bruch{\delta f}{\delta x_1}=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{\bruch{3}{2}-n}\cdot{}2x_1 [/mm] $
Wo ist der Vorfaktor [mm] $\bruch{5}{2} [/mm] - n$ hin?
MFG,
Gono.
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also nochmal...
[mm] u(x)=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{1-\bruch{n}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\delta}{\delta x_1}= (1-\bruch{n}{2}*(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}*2x_1
[/mm]
[mm] =(2x_1-nx_1)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\delta}{\delta x_1}(2x_1-nx_1)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}
[/mm]
[mm] =(2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}+(2x_1-nx_1)*(-\bruch{n}{2})(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}*(2x_1
[/mm]
Ich komme hier trotzdem nicht richtig weiter so dass ich zeigen kann, dass es sich um eine harmonische Folge handelt...Ist mein Ansatz bisher ok?
MfG
Mathegirl
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Hiho,
> also nochmal...
>
> [mm]u(x)=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{1-\bruch{n}{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta}{\delta x_1}= (1-\bruch{n}{2}*(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}*2x_1[/mm]
>
> [mm]=(2x_1-nx_1)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\delta}{\delta x_1}(2x_1-nx_1)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}[/mm]
>
> [mm]=(2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}+(2x_1-nx_1)*(-\bruch{n}{2})(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}*(2x_1[/mm]
Bis auf vergessene Klammern etc ok.
> Ich komme hier trotzdem nicht richtig weiter so dass ich
> zeigen kann, dass es sich um eine harmonische Folge
> handelt...Ist mein Ansatz bisher ok?
Funktion, nicht Folge.
Und wieso kommst du nicht weiter? Die Frage sollte eher lauten, warum du nach der Hälfte aufhörst!
Vereinfachen wir den Ausdruck noch:
[mm]=(2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}-(2-n)*n*(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}*x_1^2[/mm]
Nun erkennst du vielleicht eine Regelmäßigkeit für allgemeine [mm] $x_j$ [/mm] und dann aufsummieren.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Sa 05.05.2012 | | Autor: | triad |
>
> Vereinfachen wir den Ausdruck noch:
>
> [mm]=(2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}-(2-n)*n*(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}*x_1^2[/mm]
>
> Nun erkennst du vielleicht eine Regelmäßigkeit für
> allgemeine [mm]x_j[/mm] und dann aufsummieren.
Auf diesen Ausdruck komme ich auch und man erkennt, dass dabei immer nur der letzte Faktor [mm] x_i^2 [/mm] ändert. Jedoch muss das aufsummiert ja Null ergeben. Das erkenne ich noch nicht.
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Hiho,
> Auf diesen Ausdruck komme ich auch und man erkennt, dass
> dabei immer nur der letzte Faktor [mm]x_i^2[/mm] ändert. Jedoch
> muss das aufsummiert ja Null ergeben. Das erkenne ich noch
> nicht.
dann schreibs doch mal hier auf und zeig, wo du nicht weiterkommst.
Letztlich ist es nur einmal Potenzgesetze anwenden.
Einfach mal anfangen wäre ne gute Idee.....
$ [mm] \summe_{j=1}^n \left((2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}-(2-n)\cdot{}n\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}\cdot{}x_j^2\right) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Um das Erkennen zu erleichtern, hilft vielleicht dieses "umschreiben":
[mm] $\summe_{j=1}^n x_j^2 [/mm] = [mm] (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 So 06.05.2012 | | Autor: | triad |
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> [mm]\summe_{j=1}^n \left((2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}-(2-n)\cdot{}n\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}\cdot{}x_j^2\right)[/mm]
>
> Um das Erkennen zu erleichtern, hilft vielleicht dieses
> "umschreiben":
>
> [mm]\summe_{j=1}^n x_j^2 = (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)[/mm]
>
> MFG,
> Gono.
Danke für den Hinweis! Ich glaube jetzt hab ich's verstanden, trotzdem nochmal kleinschrittig die Argumentation:
[mm]\summe_{j=1}^n \left((2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}-(2-n)\cdot{}n\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}\cdot{}x_j^2\right)[/mm] = |Hier würde ich jetzt die Summe auf die Summanden verteilen,
[mm]\summe_{j=1}^n \left((2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}\right) -\summe_{j=1}^n \left((2-n)\cdot{}n\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}\cdot{}x_j^2\right)[/mm] = |Dann in der rechten Summe alles rausziehen, was nicht von j abhängt,
[mm]\summe_{j=1}^n \left((2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}\right) -(2-n)\cdot{}n\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}\cdot{}\summe_{j=1}^n \left(x_j^2\right)[/mm] = |mit [mm]\summe_{j=1}^n x_j^2 = (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)[/mm] folgt
[mm]\summe_{j=1}^n \left((2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}\right) -(2-n)\cdot{}n\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}-1}\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^1[/mm] =
[mm]\summe_{j=1}^n \left((2-n)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}\right) -(2-n)\cdot{}n\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}[/mm] =
Der Inhalt der linken Summe wird n-mal aufsummiert,
[mm]\left((2-n)*n*(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}\right) -(2-n)\cdot{}n\cdot{}(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{-\bruch{n}{2}}[/mm] = 0
und siehe da, links steht das gleich wie rechts.
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Hiho,
alles super.
Mein "Hinweis" ist eigentlich nur ein Ausschreiben der Summe und keinerlei Umformung, aber dadurch sieht mans vielleicht leichter
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:25 So 29.04.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> > [mm]|x|^{2-n}[/mm] = [mm](x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^{\bruch{1}{2}+(2-n)}[/mm]
> >
> > Stimmt das so?
Hier muss ich fred leider widersprechen.
Es ist:
$|x| = [mm] \sqrt{\left(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\right)} [/mm] = [mm] {\left(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\right)}^\bruch{1}{2}$ [/mm] und damit
[mm] $|x|^{2-n} [/mm] = [mm] \left({\left(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\right)}^\bruch{1}{2}\right)^{2-n} [/mm] = [mm] {\left(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\right)}^{\bruch{1}{2}*(2-n)}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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