hermitesche Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo alle zusammen,
ich muss folgende Sachen beweisen:
Sei A [mm] \in M_n(C) [/mm] eine hermitesche Matrix. Zeigen Sie:
a) Das charakteristische Polynom [mm] \lambda_A(X) [/mm] hat reelle Koeffizienten.
b) Ist A positiv definit, so ist det(A) > 0.
Kann mir da jemand einen Ansatz geben?
MfG Andi
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Hallo!
Man kann man mit dem Trick [mm] $\lambda\langle v;v\rangle=\langle \lambda v;v\rangle=\langle [/mm] A [mm] v;v\rangle=\langle v;Av\rangle=\langle v;\lambda v\rangle=\bar\lambda\langle v;v\rangle$ [/mm] zeigen, dass alle Eigenwerte einer hermiteschen Matrix reell sein müssen.
Deshalb sieht man, dass die Koeffizienten des char. Polynoms reell sind, weil's ja nur die ausmultiplizierten Linearfaktoren sind.
Und wenn $A$ positiv definit ist, kann man mit einem ähnlichen Trick zeigen, dass alle EW positiv sind. Außerdem ist [mm] $\det(A)=\det(A-0\mathrm{id})=(-1)^n\chi_A(0)=(-1)^n\produkt_{i=1}^n(0-\lambda_i)=(-1)^n(-1)^n\produkt_{i=1}^n\lambda_i$...
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
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