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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Sa 21.11.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Sei eine Orthonormalbasis in [mm] \IR^{3} [/mm] gegeben.
1. Wie lautet die Hessesche Normalform der durch [mm] \bruch{x_{1}}{2}= [/mm] 0 gegebenen ebene?
2. Wie lautet die Parameterdarstellung dieser Ebene? |
Halli Hallo,
ich hab erstmal nur fragen zu 1.
Die ebenengleichung sieht so aus: [mm] E:(\bruch{1}{2},0,0)*(x_{1},x_{2},x_{3})= [/mm] 0 oder?
[mm] (\bruch{1}{2},0,0) [/mm] ist doch mein Normalenvektor,den ich für die Hesseform normieren muss,oder?
Wenn eine Orthonormalbasis gegeben ist kann ich dann ((1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)) als Basis verwenden?
danke.
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Hallo simplify,
> Sei eine Orthonormalbasis in [mm]\IR^{3}[/mm] gegeben.
> 1. Wie lautet die Hessesche Normalform der durch
> [mm]\bruch{x_{1}}{2}=[/mm] 0 gegebenen ebene?
> 2. Wie lautet die Parameterdarstellung dieser Ebene?
> Halli Hallo,
> ich hab erstmal nur fragen zu 1.
> Die ebenengleichung sieht so aus:
> [mm]E:(\bruch{1}{2},0,0)*(x_{1},x_{2},x_{3})=[/mm] 0 oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](\bruch{1}{2},0,0)[/mm] ist doch mein Normalenvektor,den ich
> für die Hesseform normieren muss,oder?
Richtig.
> Wenn eine Orthonormalbasis gegeben ist kann ich dann
> ((1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)) als Basis verwenden?
Nur wenn die Orthonormalbais mit
der Standardbasis des [mm]\IR^{3}[/mm] identisch ist.
>
> danke.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 21.11.2009 | | Autor: | simplify |
danke für die schnelle antwort.
meine normierter vektor ist doch dann [mm] n_{0}=(1,0,0),stimmts?
[/mm]
die hesseform ist ja [mm] r*[n_{0}-d]= [/mm] 0
r= [mm] (\bruch{1}{2},0,0) [/mm] ??
d ist doch der abstand vom ursprung zu ebene,oder?
ich hab doch ein kleines verständnisproblem...
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Hallo simplify,
> danke für die schnelle antwort.
> meine normierter vektor ist doch dann
> [mm]n_{0}=(1,0,0),stimmts?[/mm]
Ja.
> die hesseform ist ja [mm]r*[n_{0}-d]=[/mm] 0
> r= [mm](\bruch{1}{2},0,0)[/mm] ??
> d ist doch der abstand vom ursprung zu ebene,oder?
> ich hab doch ein kleines verständnisproblem...
Nein.
Hier müssen [mm]r, \ n_{0}, \ d[/mm] Vektoren sein.
Außerdem lautet die Hesseform so:
[mm]\left( \ \pmat{x \\ y \\ z}-d \ \right) \* n_{0}=0[/mm]
wobei hier d der Ortsvektor zu einem Punkt auf der Ebene ist.
Definieren wie hier [mm]r:=\pmat{x \\ y \\ z}[/mm], dann ist
[mm]\left( \ r-d \ \right) \* n_{0}=0[/mm]
die Hesseform der Ebene.
[mm]d \* n_{0}[/mm] ist der Abstand der Ebene vom Ursprung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 21.11.2009 | | Autor: | simplify |
ah,ok.
mir ist jetzt aber nicht ganz klar wie ich auf d kommen soll.wie mach ich das denn?
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Hallo simplify,
> ah,ok.
> mir ist jetzt aber nicht ganz klar wie ich auf d kommen
> soll.wie mach ich das denn?
Nun, aus der Ebenengleichung
[mm]\bruch{x_{1}}{2}=0[/mm]
folgt, daß alle Punkte in der [mm]x_{2}x_{3}-Ebene[/mm] liegen.
Diese Punkte kannst Du angegeben:[mm]d=\pmat{0 \\ u \\ v}, \ u,v \in \IR[/mm]
Da [mm]n_{0}=\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist,
ist der Abstand dieser Ebene zum Ursprung gleich Null.
Oder:
Die Hesseform der Ebene lautet:
[mm]\left(r-d\right)\*n_{0}=0[/mm]
Umgeformt ergibt das
[mm]r \* n_{0}=d \* n_{0} = \bruch{d \* n}{vmat{n}}[/mm]
Vergleich mit der obigen Ebene, muß dann
[mm]d \* n=0[/mm]
gelten.
Demnach ist der Abstand der Ebene zum Urspung Null.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Sa 21.11.2009 | | Autor: | simplify |
dankeschön.
ich glaube,jetzt sind alle offenen lücken gefüllt (auch in meinem kopf).
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