höhenschnittpunkt im Raum 3 < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 So 05.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Höhenschnittpunkt und die Eulersche Gerade des Dreiecks A(4/1/-3), B(7/2/8) und C(1/1/-1) |
im 2 dimensionalen raum ist mir klar wie man das berechnet als schnittpunkt der seitenhöhen aber ich habe keine ahnung wie das hier geht! Was muss ich denn da machen! Muss ich da auch eine seitenhöhe berechnen, wenn ja wie stell ich da eine Seitenhöhe auf?
danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 05.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Höhenschnittpunkt und die Eulersche
> Gerade des Dreiecks A(4/1/-3), B(7/2/8) und C(1/1/-1)
> im 2 dimensionalen raum ist mir klar wie man das berechnet
> als schnittpunkt der seitenhöhen aber ich habe keine
> ahnung wie das hier geht! Was muss ich denn da machen! Muss
> ich da auch eine seitenhöhe berechnen, wenn ja wie stell
> ich da eine Seitenhöhe auf?
Hallo,
die Höhe [mm] h_a [/mm] liegt auf einer Geraden, die vom Punkt A zu einem Punkt X auf der Gerade BC geht. Das besondere an diesem speziellen Punkt X ist, dass das Skalarprodukt [mm] \overrightarrow{AX}\cdot\overrightarrow{BC} [/mm] Null ergeben muss. (Warum?)
Auf die gleiche Weise brauchst du noch eine zweite Höhe, der Rest ist simple Schnittpunktbestimmung zweier Geraden.
Gruß Abakus
>
> danke im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 05.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Ich habe mir jetzt X ausgerechnet, X(4/1/3)
Kann das stimmen?
und dann muss ich ha aufstellen.
wie?
vielleicht so: ha: X = [mm] X_{1} [/mm] + t [mm] \* \vec{a}
[/mm]
und [mm] X_{1} [/mm] ist X(4/1/3)
und [mm] \vec{a} [/mm] ist [mm] \overrightarrow{XA}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 So 05.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich habe mir jetzt X ausgerechnet, X(4/1/3)
> Kann das stimmen?
Hallo,
das kann nicht stimmen.
Der Punkt (4|1|3) liegt nicht auf der Geraden BC.
Gruß Abakus
> und dann muss ich ha aufstellen.
>
> wie?
>
> vielleicht so: ha: X = [mm]X_{1}[/mm] + t [mm]\* \vec{a}[/mm]
>
> und [mm]X_{1}[/mm] ist X(4/1/3)
> und [mm]\vec{a}[/mm] ist [mm]\overrightarrow{XA}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 05.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
irgendwie versteh ich das noch immer nicht kannst du mir das irgendwie nochmal genauer erklären! AX * BC = 0 verstehe ich weil deil die ja normal aufeinander stehen sollen aber ich kommen nicht auf h!
Danke im Voraus
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> irgendwie versteh ich das noch immer nicht kannst du mir
> das irgendwie nochmal genauer erklären! AX * BC = 0
> verstehe ich weil deil die ja normal aufeinander stehen
> sollen aber ich kommen nicht auf h!
>
> Danke im Voraus
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Erstmal wolltest Du doch den Punkt X berechnen.
Den brauchen wir.
Vielleicht machst Du mal vor, was Du hierfür gerechnet hast.
Die Gleichung der Geraden, auf welcher [mm] h_a [/mm] liegt, kannst Du leicht aufstellen, indem Du den berechneten Punkt X verwendest:
Die Gerade geht durch X und weist in Richtung [mm] \overrightarrow{XA}, [/mm] das sagst Du in Deinem Beitrag ja selbst.
Es hängt also alles am falsch berechneten X, und da können wir nur helfen, wenn wir die Rechnung sehen.
Andere Möglichkeit - mir gefällt sie besser:
Du kannst den Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck liegt, berechnen, dann einen zum Normalenvektor und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] senkrechten Vektor. Dies ist der Richtungsvektor von [mm] h_a. [/mm] Wenn Du dann noch bedenkst, daß [mm] h_a [/mm] durch A geht, steht Deine Geradengleichung auch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
[mm] \overrightarrow{AX} [/mm] * [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = 0
daraus habe ich mir X berechnet
ich weiß es ist falsch, aber ich weiß nicht wie man x sonst berechnet!
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Hallo Laura,
das ist nicht falsch, nur noch nicht die vollständige Bedingung. Unendlich viele verschiedene X erfüllen Deine Gleichung
> [mm]\overrightarrow{AX}[/mm] * [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = 0
Die zweite Bedingung ist aber, dass X auf der geforderten Seite liegt. Und dann ist der Punkt eindeutig.
Das ist anschaulich ja auch klar. Die erste Bedingung (Skalarprodukt) fordert ja nur, dass der Vektor [mm] \overrightarrow{AX} [/mm] senkrecht auf dem Vektor [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] steht. Solche Vektoren werden durch eine Gerade repräsentiert, die senkrecht auf der (verlängerten) Gerade durch B und C steht, und zugleich durch den Punkt A geht. Mehr liefert die Bedingung nicht. Du kannst also so höchstens eine Richtung bestimmen.
Du brauchst aber den Ortsvektor [mm] \vec{X}, [/mm] also den des Punktes, der genau der Schnittpunkt der beiden gefundenen Geraden ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
irgenwie ist mi klar das ich da 2 geraden aufstellen muss die ich dann schneiden muss, die eine hab ich schon: g: X= (7/2/8)+s*(-6/-1/-9) aber die andere die durch A und X geht weiß ich nicht wie ich auf die komme. Vorallem weil ich den vektor nicht bekomm den ich da noch brauch weil A hab ich ja!
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Hallo Laura,
es gibt, wie gesagt, unendlich viele solche Vektoren. Einen wirst Du doch finden:
Er liegt in der gleichen Ebene wie das Dreieck (noch eine Bedingung) und steht senkrecht auf der Seite.
Anders gesagt, er steht senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene und senkrecht auf dem Richtungsvektor der Seite.
Da sollte bei Dir direkt das Wort "Kreuzprodukt" (oder Vektorprodukt) klingeln...
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok! ich hab ja schon mal die gerade g stimmt die wenigstes?
also ich wollte eine gerade h aufstellen mit punkt a und dem normalvektor den ich aus BC x BA bekommen wollte stimmt das soweit oder bin ich da schon falch? Der ist bei mir (2/-39/3). Dann hab ich beide geraden geschnitten nur fallen mir dann beide parameter weg was ja dann auch nicht richtig sein kann!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Da ich so nicht weiterkomme, habe ich mir überlegt drei Ebenen zu bilden und die dann zu schneiden, dann müsste ich ja auch den höhenschnittpunkt bekommen, oder??
meine 3 ebenen lauten:
E1: 3x + y + 11z = -7
E2: -3x - y + 2Z = -5
E3: -6x - y - 9z = 2
als H würde ich ((41/39) / 0 / (-12/13)) erhalten.
Stimmt das?
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Hallo nochmal,
> Da ich so nicht weiterkomme, habe ich mir überlegt drei
> Ebenen zu bilden und die dann zu schneiden, dann müsste
> ich ja auch den höhenschnittpunkt bekommen, oder??
Das ist eine interessante Idee. Sie funktioniert, wenn Du die richtigen drei Ebenen nimmst. Es kommen vier in Frage, eine bestimmte davon muss dabei sein und zwei der anderen drei.
Also, schaun wir mal:
> meine 3 ebenen lauten:
>
> E1: 3x + y + 11z = -7 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ebene senkrecht auf [mm] \overline{AB} [/mm] und durch C
> E2: -3x - y + 2Z = -5 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") hier stimmt der y-Koeffizient nicht.
E2: -3x+2z=-5 Ebene senkrecht auf [mm] \overline{AC} [/mm] und durch B
> E3: -6x - y - 9z = 2 Ebene senkrecht auf [mm] \overline{BC} [/mm] und durch A
Diese drei Ebenen schneiden sich aber nicht in einem Punkt, sondern haben eine gemeinsame Gerade. Diese führt allerdings durch gesuchten Höhenschnittpunkt.
> als H würde ich ((41/39) / 0 / (-12/13)) erhalten.
Wie das, wenn das Ergebnis doch eine Gerade sein muss?
Oder hast Du mit der einzigen "Pflichtebene" geschnitten, nämlich derjenigen, in der das Dreieck liegt? Du brauchst zwei der von Dir oben angegebenen Ebenen und die Ebene des Dreiecks. Dann ist der Schnittpunkt der gesuchte Punkt.
> Stimmt das?
Weiß nicht, da müsste ich ja selber die Dreiecksebene nachrechnen und überhaupt...
Mir geht es gerade nur um den Weg, und Dein Grundansatz ist einfallsreich und eben auch möglich.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
stimmt E2: -3x + 2z = -5 (danke für den Hinweis)
gerade ist ((5/3) / -12 / 0) + t* ((2/3) / -13 / 1)
die Ebene mit der ich g schneiden muss lautet :
E: X = (4/1/-3) + s * (3/1/11) + t * (-3/0/2)
allgemeine Form der Ebene: 2x + 39y + 3z = 38
habe dann Ebene mit gerade geschnitten, der Parameter t = -1
und der Punkt dann (1/1/1) -> ist das dann mein Höhenschnittpunkt???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Di 07.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
wieso ist mein Normalvektor der Ebene falsch n= (3/1/11) X (-3/0/2) = (1*2-11*0 / -(3*2-(-3)*11) / 3*0-(-3)*1) = (2/39/3)
zumindest hab ich das ausrechnen so gelernt.
und wenn H = C (1/1/-1) ist, liegt ein rechtwinkliges Dreick vor. Das heißt die Lösung lautet H = C
und die eulersche gerade kann ich mir dann so ausrechnen:
e: S+t*(S-H)
Wobei S ((A+B+C)/3 ist
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Hallo Laura,
> wieso ist mein Normalvektor der Ebene falsch n= (3/1/11) X
> (-3/0/2) = (1*2-11*0 / -(3*2-(-3)*11) / 3*0-(-3)*1) =
> (2/39/3)
> zumindest hab ich das ausrechnen so gelernt.
Der Ansatz stimmt, nur ist -(3*2-(-3)*11)=-39.
> und wenn H = C (1/1/-1) ist, liegt ein rechtwinkliges
> Dreick vor. Das heißt die Lösung lautet H = C
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> und die eulersche gerade kann ich mir dann so ausrechnen:
> e: S+t*(S-H)
>
> Wobei S ((A+B+C)/3 ist
Auch: völlig richtig.
Du kannst es offenbar, es ist nur inzwischen zu spät, um noch fehlerfrei zu denken. Hier jedenfalls.
Grüße
reverend
PS: Deine Idee mit den drei (oder vier) Ebenen finde ich immer noch richtig gut. Die steht so bestimmt nicht im Lehrbuch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Di 07.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
VIELEN DANK für deine Hilfe.
War echt schon am verzweifeln.
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Den Normalenvektor habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber wenn beide Parameter wegfallen, muss noch irgendwo ein Fehler sein, den ich nur finden kann, wenn ich die Rechnung sehe.
Mir scheint es aber besser, Du verfolgst den neuesten Hinweis von Abakus. Das ist der direkte und stringente Weg, den ich Dir empfehlen würde.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mo 06.09.2010 | | Autor: | abakus |
> irgenwie ist mi klar das ich da 2 geraden aufstellen muss
> die ich dann schneiden muss, die eine hab ich schon: g: X=
> (7/2/8)+s*(-6/-1/-9) aber die andere die durch A und X geht
AHA!
Der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X auf BC lässt sich also beschreiben durch [mm] \overrightarrow{OX}=(7/2/8)+s*(-6/-1/-9).
[/mm]
Der Vektor von A nach X hat dann die Form
[mm] \overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}= [/mm] (7/2/8)+s*(-6/-1/-9) -(4/1/3)
=(3-6s/1-s/5-9s).
Bilde davon das Skalarprodukt mit [mm] \overrightarrow{BC}, [/mm] setze es Null, um du erhälts einen Wert für s (der Wert, mit dem du auf der Geraden BC den gesuchten Höhenfußpunkt erhältst).
Gruß Abakus
> weiß ich nicht wie ich auf die komme. Vorallem weil ich
> den vektor nicht bekomm den ich da noch brauch weil A hab
> ich ja!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 06.09.2010 | | Autor: | Laura_88 |
oki, danke hab mir jetzt X ausgerechnet:
((221/59) / (86/59) / (184/59))
ziemlich blöde Koordinaten.
damit ich mir jetzt den Höhenschnittpunkt ausrechnen kann muss ich jetzt ha aufstellen:
X = [mm] X_{1} [/mm] + t * [mm] \vec{a}
[/mm]
[mm] X_{1} [/mm] = A
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{XA}
[/mm]
und dann z.B.: hc
muss ich mir dann hier wieder einen Punkt X ausrechnen der auf der Seite AB liegt?!
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> oki, danke hab mir jetzt X ausgerechnet:
> ((221/59) / (86/59) / (184/59))
Hallo,
ich habe die erste Koordinate nachgerechnet, die stimmt.
Die anderen prüfe ich jetzt nicht mehr - das Prinzip ist ja klar.
(Es war s=32/59, sowas solltest Du ruhig mitteilen.)
>
> ziemlich blöde Koordinaten.
Ja.
>
> damit ich mir jetzt den Höhenschnittpunkt ausrechnen kann
> muss ich jetzt ha aufstellen:
>
> X = [mm]X_{1}[/mm] + t * [mm]\vec{a}[/mm]
>
> [mm]X_{1}[/mm] = A
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\overrightarrow{XA}[/mm]
Das kannst Du machen, Du kannst als Aufpunkt, also als [mm] X_1 [/mm] natürlich auch den soeben berechnetn Punkt nehmen.
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> und dann z.B.: hc
> muss ich mir dann hier wieder einen Punkt X ausrechnen der
> auf der Seite AB liegt?!
Ja, genau.
Beachte aber doch auch die zweite Möglichkeit der Berechnung des gesuchten Richtungsvektors der Höhengerade, welche ich Dir gestern mitgeteilt hatte. Meines Erachtens ist das bequemer - aber die Hauptsache ist natürlich, daß Du irgendwie zum Ziel kommst.
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