höldersche Ungleichung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 So 06.04.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Seien p,q>1 mit [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1. [/mm] Zeigen Sie die Höldersche Ungleichung für Integrale: Für stetige Funktionen [mm] f,g:[a,b]\to\IR [/mm] gilt
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}|\le (\integral_{a}^{b}{|f(x)|^{p}})^{\bruch{1}{p}}(\integral_{a}^{b}{g(x)}^{q})^{\bruch{1}{q}}
[/mm]
Hinweis: Riemann-Summe |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habes folgendes gemacht:
Riemann- summe ist folgend def.: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx}=lim \summe_{j=1}^{N-1}f(x_{j})\Delta x_{j}
[/mm]
dann zu der aufgabe:
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}|\le \integral_{a}^{b}{|f(x)g(x)| dx}=lim \summe_{j=1}^{N-1}(f(x_{j})g(x_{j}))\Delta x_{j}=lim \summe_{j=1}^{N-1}|f(x_{j}|)(\Delta x_{j})^{\bruch{1}{p}}|g(x_j)|(\Delta x_{j})^{\bruch{1}{q}}\le [/mm] (lim [mm] \summe_{j=1}^{N-1}|f(x_{j})|^{p}\Delta x_{j})^{\bruch{1}{p}}(lim \summe_{j=1}^{N-1}|g(x_{j})|^{q})\Delta x_{j})^{\bruch{1}{q}}=(\integral_{a}^{b}{|f(x)|^{p}})^{\bruch{1}{p}}(\integral_{a}^{b}{|g(x)|^{q}})^{\bruch{1}{q}}
[/mm]
ist das richtig was ich gemacht habe
gruß,
knowhow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Di 08.04.2014 | | Autor: | wauwau |
im prinzip schon, nur warum gilt die, von dir verwendete (diskrete) Ungleichung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 So 13.04.2014 | | Autor: | knowhow |
weil f,g steitg ist gilt diese ungleichung, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 So 13.04.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> weil f,g steitg ist gilt diese ungleichung, oder?
Nein.
Du musst zuerst die (diskrete, weil endliche Summe) Ungleichung [mm] $\summe_{j=1}^{N-1} a_j b_j \le (\summe_{j=1}^{N-1}a_j^p )^{\bruch{1}{p}} (\summe_{j=1}^{N-1} b_j^p )^{\bruch{1}{q}}$ [/mm] mit [mm] $a_j [/mm] := [mm] |f(x_{j})|(\Delta x_{j})^{\bruch{1}{p}} \ge [/mm] 0$ und [mm] $b_j [/mm] := [mm] |g(x_j)|(\Delta x_{j})^{\bruch{1}{q}} \ge [/mm] 0$ zeigen. Dann kannst du wegen der Stetigkeit den Limes anwenden und erhaelst damit die gesuchte Ungleichung.
(Der Limes geht uebrigens nicht nur ueber $N$, sondern auch ueber die [mm] $(x_1, \dots, x_N)$, [/mm] die ja von $N$ abhaengen. Es ist also nicht einfach "nur" Stetigkeit, sondern mehr, was aber im Endeffekt auch aus der Stetigkeit folgt. Das solltest du dir aber auch mal klarmachen.)
LG Felix
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