holom. Fkt./ nicht konst. Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei [mm]f: U \backslash \{z_{0}\}\to \IC[/mm] eine holomorphe Fkt.
O.B.d.A. sei U ein Kreis um [mm] z_{0}=0.
[/mm]
Zeige:
Falls [mm]\limes_{z\rightarrow\ z_{0} } f(z)(z-z_{0})=0[/mm],
so kann man f in [mm] z_{0} [/mm] holomorph fortsetzen. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm]f: \IC \to \IC[/mm] eine ganze, nicht konstante Fkt.
und [mm]A:=\{z \in \IC | |f(z)|<1\} = f^{-1} (E).[/mm]
a) Zeige, dass A nicht leer ist.
b) Zeige, dass f mind. eine NS besitzt, falls A beschränkt ist.
c) Gebe ein Bsp. an, in dem A nicht beschränkt ist. |
Hallo!
Hänge mal wieder an 2 Aufgaben von meinem FT-Blatt.
Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.
Zu Aufgabe 1:
Wir haben in der Übungsgruppe folg. Hinweise zur Aufgabe bekommen:
a) Integriere f über Rechtecke.
b) alle Rechtecke um [mm] z_{0} [/mm] liefern den gleichen Wert.
c) Betrachte kleine Rechtecke, um zu zeigen,
dass alle Rechtecke den Wert 0 liefern.
d) Dann besitzt f eine Stammfkt. F auf [mm]U \backslash \{z_{0}\}.[/mm]
e) F lässt sich stetig auf U fortsetzen.
Zu Aufgabe 2:
Als Hinweis wurde mir hier folg. gegeben: Liouville
Kann mir jemand von Euch weiterhelfen?
Wäre Euch echt super dankbar,
da ich echt auf jeden Punkt angewiesen bin.
Vielen Dank schon mal für Eure Bemühungen!
VlG
Mario
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mario!
> Sei [mm]f: U \backslash \{z_{0}\}\to \IC[/mm] eine holomorphe Fkt.
> O.B.d.A. sei U ein Kreis um [mm]z_{0}=0.[/mm]
> Zeige:
> Falls [mm]\limes_{z\rightarrow\ z_{0} } f(z)(z-z_{0})=0[/mm],
> so kann man f in [mm]z_{0}[/mm] holomorph fortsetzen.
> Sei [mm]f: \IC \to \IC[/mm] eine ganze, nicht konstante Fkt.
> und [mm]A:=\{z \in \IC | |f(z)|<1\} = f^{-1} (E).[/mm]
>
> a) Zeige, dass A nicht leer ist.
> b) Zeige, dass f mind. eine NS besitzt, falls A beschränkt
> ist.
> c) Gebe ein Bsp. an, in dem A nicht beschränkt ist.
> Hallo!
>
> Hänge mal wieder an 2 Aufgaben von meinem FT-Blatt.
> Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> Wir haben in der Übungsgruppe folg. Hinweise zur Aufgabe
> bekommen:
> a) Integriere f über Rechtecke.
> b) alle Rechtecke um [mm]z_{0}[/mm] liefern den gleichen Wert.
> c) Betrachte kleine Rechtecke, um zu zeigen,
> dass alle Rechtecke den Wert 0 liefern.
> d) Dann besitzt f eine Stammfkt. F auf [mm]U \backslash \{z_{0}\}.[/mm]
>
> e) F lässt sich stetig auf U fortsetzen.
Die Frage ist, was ihr schon an Vorwissen habt. Da ihr anscheinend auch schon den Satz von Liouville hattet, gehe ich mal davon aus das ihr auch schon was wie Potenzreihenentwicklung hattet...
Schau dir doch mal die Funktion $g(z) := f(z) (z - [mm] z_0)$ [/mm] an mit [mm] $g(z_0) [/mm] := 0$. Diese ist auf $U [mm] \setminus \{ z_0 \}$ [/mm] holomorph und auf $U$ stetig. Jetzt habt ihr vielleicht einen Satz, der sagt, dass die Funktion dann bereits auf ganz $U$ holomorph ist (wenn nicht: das kann man mit Integralen ueber Dreiecken und dem Satz von Morera zeigen; hattet ihr den schon?).
Also ist $g$ holomorph; entwickel es in [mm] $z_0$ [/mm] als Potenzreihe. Der $0$-te Koeffizient ist $0$ (da [mm] $g(z_0) [/mm] = 0$ ist), womit $g(z)/(z - [mm] z_0)$ [/mm] ebenfalls holomorph ist (mit passender Fortsetzung in [mm] $z_0$). [/mm] Aber $g(z)/(z - [mm] z_0) [/mm] = f(z)$ auf $U [mm] \setminus \{ z_0 \}$, [/mm] womit du die Fortsetzung gezeigt hast.
> Zu Aufgabe 2:
>
> Als Hinweis wurde mir hier folg. gegeben: Liouville
Bei a): Wenn es leer ist, betrachte $g := [mm] \frac{1}{f}$. [/mm] Dann ist $g$ ganz und beschraenkt (warum?).
Bei b): Wenn $A$ beschraenkt ist und $f$ keine Nullstelle hat, dann schau dir $g := [mm] \frac{1}{f}$ [/mm] an. Dann kannst du ebenfalls zeigen, dass $g$ beschraenkt ist.
Bei c): Schau dir mal solche Funktionen wie [mm] $\sin$, $\cos$ [/mm] und [mm] $\exp$ [/mm] an...
LG Felix
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Hallo Felix!
Zuerst einmal noch vielen Dank für Deine nette Hilfe.
Doch irgendwie steh ich auf dem Schlauch (bei der 2ten Aufgabe):
Warum ist [mm] g:=\bruch{1}{f} [/mm] ganz (& vorallem) beschränkt?
Und Deinen Tip für b) und c) verstehe ich leider auch nicht!
Kannst Du mir nochmal auf die Sprünge helfen!
Nochmals vielen Dank!
VlG
Mario
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mario!
> Zuerst einmal noch vielen Dank für Deine nette Hilfe.
> Doch irgendwie steh ich auf dem Schlauch (bei der 2ten
> Aufgabe):
>
> Warum ist [mm]g:=\bruch{1}{f}[/mm] ganz (& vorallem) beschränkt?
> Und Deinen Tip für b) und c) verstehe ich leider auch
> nicht!
Wenn du annimmst, dass $A$ leer ist, so ist $|f(z)| [mm] \ge [/mm] 1$ fuer alle $z [mm] \in \IC$. [/mm] Also hat $f$ insb. keine Nullstellen, womit $g := [mm] \frac{1}{f}$ [/mm] eine ganze Funktion ist (also auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] definiert und holomorph). Und weiterhin ist $|g(z)| = [mm] \frac{1}{|f(z)|} \le [/mm] 1$ fuer alle $z [mm] \in \IC$, [/mm] womit $g$ beschraenkt ist.
Bei b) hast du ebenfalls eine ganze Funktion, da $f$ keine Nullstellen hat. Beachte, dass die Menge [mm] $\overline{A}$ [/mm] kompakt ist, und $g$ ausserhalb von $A$ durch $1$ beschraenkt ist.
Bei c) schau dir die genannten Funktionen an und ueberleg dir, wie die Mengen $A$ aussehen. Oder such zumindest eine Folge von Punkten [mm] $x_n \in \IC$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x_n \to \infty$ [/mm] und [mm] $|f(z_n)| [/mm] < 1$ fuer alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
LG Felix
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