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| Aufgabe | Gibt es eine Funktion f, die holomorph in der Umgebung von 0 ist und die folgende Bedingung für alle [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\ge1 [/mm] erfüllt?
[mm] |f^{n}(0)|\ge n!n^n. [/mm] |
Halloihallo,
bei der Klausurvorbereitung habe ich folgende Aufgabe versucht zu lösen. Und zwar würde ich gerne die obige Behauptung irgendwie zu einem Widerspruch zu den Cauchyschen Ungleichungen führen, da ich aber die Supremumsnorm von f nicht kenne, gelingt das nicht richtig. Dann habe ich versucht nur den Gleichheitsfall zu betrachten und das ganze in einer Taylorentwicklung zu schreiben. Dann kommt raus, dass es keine solche Funktion gibt. Dann könnte ich schließen, dass es für die n-ten Ableitungen, die größer sind, auch keine solche Funktion gibt. Jetzt gibts aber einen Haken: Hier steht der Betrag der n-ten Ableitungen. Und in der Taylorentwicklung kommt ja nur die n-te Ableitung vor. Und wenn der Betrag zwar größer ist, kann die n-te Ableitung ja trotzdem kleiner sein. Hat jemand einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 17.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gibt es eine Funktion f, die holomorph in der Umgebung von
> 0 ist und die folgende Bedingung für alle [mm]n\in \IN[/mm] mit
> [mm]n\ge1[/mm] erfüllt?
> [mm]|f^{n}(0)|\ge n!n^n.[/mm]
> Halloihallo,
> bei der Klausurvorbereitung habe ich folgende Aufgabe
> versucht zu lösen. Und zwar würde ich gerne die obige
> Behauptung irgendwie zu einem Widerspruch zu den
> Cauchyschen Ungleichungen führen, da ich aber die
> Supremumsnorm von f nicht kenne, gelingt das nicht richtig.
> Dann habe ich versucht nur den Gleichheitsfall zu
> betrachten und das ganze in einer Taylorentwicklung zu
> schreiben. Dann kommt raus, dass es keine solche Funktion
> gibt. Dann könnte ich schließen, dass es für die n-ten
> Ableitungen, die größer sind, auch keine solche Funktion
> gibt. Jetzt gibts aber einen Haken: Hier steht der Betrag
> der n-ten Ableitungen. Und in der Taylorentwicklung kommt
> ja nur die n-te Ableitung vor. Und wenn der Betrag zwar
> größer ist, kann die n-te Ableitung ja trotzdem kleiner
> sein. Hat jemand einen Tipp?
Eine Taylorreihe ist eine Potenzreihe und daher im Inneren ihres Konvergenzkreises absolut konvergent.
Viele Grüße
Rainer
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Cool, das heißt ich kann es mit Konvergenzreihen wirklich machen? ,) schön.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Cool, das heißt ich kann es mit Konvergenzreihen wirklich
> machen? ,) schön.
Nimm an, es gäbe eine solche holomorphe Funktion f. In einer Umgebung von 0 hat f dann die Potenzreihenentwicklung
$f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$
[/mm]
Nun weißt Du (hoffentlich ! )
[mm] $a_n= \bruch{f^{(n)}(0)}{n!}$
[/mm]
Mit der Vor. und Cauchy-Hadamard kommst Du zu einem Widerspruch
FRED
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ja, so wollte ich es ja ;) und da Konvrgenzreihen absolut konvergiere geht das ja so ;) das is gut.
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