holomorphe Funktion/Log < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Existiert eine holomorphe Funktion f: [mm] \IC [/mm] \ [mm] \pi\IZ\to\IC [/mm] mit [mm] e^{f(z)} [/mm] = sin z für alle [mm] z\in \IC [/mm] \ [mm] \pi\IZ? [/mm] |
Hallihallo,
ich habe mir überlegt: Diese Behauptung ist ja äquivalent dazu, dass sin z einen holomorphen Logarithmus besitzt. Das wiederrum is aber äquivalent dazu, dass [mm] \bruch{f'}{f} [/mm] eine holomorphe Stammfunktion hat. Also habe ich mir [mm] \bruch{f'}{f} [/mm] mal hingeschrieben, da kommt ja genau der cot heraus, also [mm] \bruch{cos z}{sin z}. [/mm] Wenn ich mir davon aber eine holomorphe Stammfunktion überlege, komme ich ja wieder heraus bei dem Logarithmus (und zwar log(sinz ), aber z aus der geschlitzten Ebene). Drehe ich mich im Kreis bzw. gehe ich völlig falsch vor?
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Ich glaube ich habs: Residuensatz ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Existiert eine holomorphe Funktion f: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi\IZ\to\IC[/mm]
> mit [mm]e^{f(z)}[/mm] = sin z für alle [mm]z\in \IC[/mm] \ [mm]\pi\IZ?[/mm]
> Hallihallo,
> ich habe mir überlegt: Diese Behauptung ist ja
> äquivalent dazu, dass sin z einen holomorphen Logarithmus
> besitzt.
> Das wiederrum is aber äquivalent dazu, dass
> [mm]\bruch{f'}{f}[/mm] eine holomorphe Stammfunktion hat.
Wie das ?
> Also habe
> ich mir [mm]\bruch{f'}{f}[/mm] mal hingeschrieben, da kommt ja genau
> der cot heraus, also [mm]\bruch{cos z}{sin z}.[/mm]
??????????????????????
Wir nehmen mal an, es existiere eine holomorphe Funktion f: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi\IZ\to\IC[/mm] mit
(*) [mm]e^{f(z)}[/mm] = sin z für alle [mm]z\in \IC[/mm] \ [mm]\pi\IZ[/mm]
Wenn man differenziert erhält man:
[mm] $f'(z)*e^{f(z)}= [/mm] cos(z)$,
also $f'(z)= [mm] \bruch{cos(z)}{sin(z)}= [/mm] cot(z)$
sei $ [mm] \gamma(t):= e^{it}$ [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi [/mm] ]
Dann erhälst Du:
$ [mm] \integral_{\gamma}^{}{f'(z) dz}= f(\gamma(2 \pi ))-f(\gamma(0))= [/mm] 0$
Nun berechne mal das Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{f'(z) dz} [/mm] mit dem Residuensatz. Was erhälst Du ?
FRED
> Wenn ich mir
> davon aber eine holomorphe Stammfunktion überlege, komme
> ich ja wieder heraus bei dem Logarithmus (und zwar log(sinz
> ), aber z aus der geschlitzten Ebene). Drehe ich mich im
> Kreis bzw. gehe ich völlig falsch vor?
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