holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Do 25.05.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe 1 | Sei G [mm] \subset [/mm] C ein Gebiet, f:G->C holomorph und nullstellenfrei und k [mm] \ge2.
[/mm]
a) Zeigen Sie: Wenn f einen holomorphen Logarithmus besitzt, dann existiert eine k-te holomorphe Wurzel von f. Gilt die Umkehrung?
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| Aufgabe 2 | | b) Zeigen Sie, dass zu zwei k-ten holomorphen Wurzeln g1 und g2 von f eine Zahl c E C existiert mit [mm] c^k [/mm] = 1 und g1 [mm] \equivc*g2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich komm da leider nicht so richtig weiter - aber bestimmt ist es garnicht so kompliziert. Kann mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Fr 26.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hoi sclossa!
> Sei G [mm]\subset[/mm] C ein Gebiet, f:G->C holomorph und
> nullstellenfrei und k [mm]\ge2.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: Wenn f einen holomorphen Logarithmus
> besitzt, dann existiert eine k-te holomorphe Wurzel von f.
> Gilt die Umkehrung?
Du kennst doch sicher die Gleichung [mm] $a^b [/mm] = [mm] \exp(b \log(a))$ [/mm] (hierbei muss man halt aufpassen, dass [mm] $\log(a)$ [/mm] existiert)? Kannst du damit was anfangen, wenn du weisst, dass es ein holomorphes $g : G [mm] \to \IC$ [/mm] gibt mit [mm] $\exp(g) \equiv [/mm] f$?
> b) Zeigen Sie, dass zu zwei k-ten holomorphen Wurzeln g1
> und g2 von f eine Zahl c E C existiert mit [mm]c^k[/mm] = 1 und g1
> [mm]\equiv c*g2[/mm]
Schau dir doch mal die Funktion [mm] $\frac{g_1}{g_2}$ [/mm] an (Vorsicht, du darfst dir das nur dort anschauen, wo [mm] $g_2$ [/mm] nicht verschwindet... Aber mal anders gefragt: Kann [mm] $g_2$ [/mm] irgendwo verschwinden?). Von dieser musst du zeigen, dass sie konstant ist. Und du weisst, dass [mm] $g_1^k \equiv [/mm] f [mm] \equiv g_2^k$ [/mm] ist...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 27.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Ehrlich gesagt bringt mich das nicht wirklich weiter... steh wohl irgendwie auf em Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ehrlich gesagt bringt mich das nicht wirklich weiter...
> steh wohl irgendwie auf em Schlauch.
Wenn $g$ ein Logarithmus von $f$ ist, betrachte $h := [mm] \exp(\frac{1}{n} [/mm] g)$. Das ist dann eine $n$-te Wurzel von $f$ (warum?).
Hilft dir das beim ersten Teil meines Postings?
Zum zweiten Teil: Was ist [mm] $\left(\frac{g_1}{g_2}\right)^n$? [/mm] Welche Werte kann also [mm] $\frac{g_1}{g_2}$ [/mm] annehmen? (Tipp: es sind nur endlich viele.) Warum folgt daraus, dass [mm] $\frac{g_1}{g_2}$ [/mm] konstant ist?
Wenn dir das nicht hilft, schreib bitte zu jeder dieser Fragen ein paar Grdanken von dir, wo du nicht weiter kommst...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 So 28.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Ich betrachte den holomorphen Logarithmus g von f. Das dieser existiert, wird ja vorausgesetzt. Wie kommst du von dort auf h=exp( 1/n g).
Dann könnte ich ja leicht durch Umformung auf [mm] h(z)^n [/mm] = exp(g) kommen und müsste dann zeigen das exp(g) = f gilt?
Und zum zweiten Teil: Bevor ich [mm] (g1/g2)^k [/mm] betrachte, muss ich denk ich mal wissen, wie g1 und g2 aussehen. Da es k-te holomorphe Wurzeln sind, gilt [mm] g1(z)^k [/mm] = [mm] g2(z)^k [/mm] = f(z) ? Aber das bringt mich auch nicht weiter...
Könnten Sie mir gegenbenenfalls kurz den Lösungsweg skizzieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich betrachte den holomorphen Logarithmus g von f. Das
Du musst dran denken, dass es ``den'' Logarithmus nicht gibt. Es ist sozusagen ein Zweig des Logarithmus. Aber das aendert nix an der Rechnung.
> dieser existiert, wird ja vorausgesetzt. Wie kommst du von
> dort auf h=exp( 1/n g).
> Dann könnte ich ja leicht durch Umformung auf [mm]h(z)^n[/mm] =
> exp(g) kommen und müsste dann zeigen das exp(g) = f gilt?
Wie ist denn `der' Logarithmus von $f$ definiert? Das ist doch gerade eine holomorphe Funktion $g$ mit [mm] $\exp(g) [/mm] = f$.
> Und zum zweiten Teil: Bevor ich [mm](g1/g2)^k[/mm] betrachte, muss
> ich denk ich mal wissen, wie g1 und g2 aussehen. Da es k-te
Wieso?
> holomorphe Wurzeln sind, gilt [mm]g1(z)^k[/mm] = [mm]g2(z)^k[/mm] = f(z) ?
> Aber das bringt mich auch nicht weiter...
Damit ist doch [mm] $\left(\frac{g_1}{g_2}\right)^k [/mm] = [mm] \frac{g_1^k}{g_2^k} [/mm] = [mm] \frac{f}{f} [/mm] = 1$ und somit ist [mm] $(g_1/g_2)^k$ [/mm] konstant gleich $1$.
> Könnten Sie mir gegenbenenfalls kurz den Lösungsweg
> skizzieren?
Du brauchst mich nicht zu Siezen, so alt bin ich noch nicht 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 28.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Also mir ist das schon klar  .
Es gilt
e(g(z))=f(z) kann man daraus folgern, dass e(1/k [mm] g(z))=f(z)^1/k [/mm] und
somit h(z) = e(1/k) g(z)) gesuchte k-te Wurzel mit [mm] h(z)^k [/mm] = f ist?
Reicht das schon aus?
Und was ist (siehe Aufgabenstellung) mit der Umkehrung?
In Teil b) ist mir schon irgendwie klar, das [mm] (g1/g2)^k [/mm] ^= 1 sein müsste, aber (siehe Aufgabenstellung) das ist ja nicht zu zeigen... und warum
g1 [mm] \equivc*g2 [/mm] gilt mit [mm] c^k=1 [/mm] seh ich auch nicht wirklich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also mir ist das schon klar .
> Es gilt
> e(g(z))=f(z) kann man daraus folgern, dass e(1/k
> [mm]g(z))=f(z)^1/k[/mm] und
Diese Schreibweise macht keinen Sinn! Was soll [mm] $f(z)^{1/k}$ [/mm] sein? ``Die'' $k$-te Wurzel gibts im Komplexen nicht!
> somit h(z) = e(1/k) g(z)) gesuchte k-te Wurzel mit [mm]h(z)^k[/mm]
> = f ist?
> Reicht das schon aus?
Was ist denn die genaue Definition von ``einer $k$-ten Wurzel''? Eine $k$-te Wurzel von $f$ ist doch eine holomorphe Funktion $h$ mit [mm] $h^k [/mm] = f$. Also wenn du zeigst, dass [mm] $h^k [/mm] = f$ ist, dann bist du fertig.
> Und was ist (siehe Aufgabenstellung) mit der Umkehrung?
Die Umkehrung gilt nicht. Nimm etwa $G = [mm] \IC \setminus \{ 0 \}$, [/mm] $k = 2$, da laesst sich schon ein ganz einfaches Gegenbeispiel finden.
> In Teil b) ist mir schon irgendwie klar, das [mm](g1/g2)^k[/mm] ^= 1
> sein müsste, aber (siehe Aufgabenstellung) das ist ja nicht
> zu zeigen... und warum
> g1 [mm]\equivc*g2[/mm] gilt mit [mm]c^k=1[/mm] seh ich auch nicht wirklich...
Versuch doch bitte mal Formeln so zu tippen, dass sie nachher auch so aussehen wie du das gern haettest. Also das da etwa steht [mm] $g_1 \equiv [/mm] c [mm] \cdot g_2$.
[/mm]
Zu zeigen, dass [mm] $(g_1/g_2)^k \equiv [/mm] 1$ ist, ist ein Zwischenschritt auf den Weg zur Loesung. Wenn [mm] $g_1 \equiv [/mm] c [mm] \cdot g_2$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\frac{g_1}{g_2} \equiv [/mm] c$ (einfaches umformen). Also musst du zeigen, dass [mm] $g_1/g_2$ [/mm] eine Konstante ist, deren $k$-te Potenz gleich $1$ ist. Es bleibt dir also nichts anderes uebrig, als die Funktion [mm] $g_1/g_2$ [/mm] zu untersuchen.
LG Felix
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