homogene Rotationsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:35 Di 02.09.2008 | | Autor: | iamfgu |
| Aufgabe | homogene Transformationsmatrix:
[mm] \begin{pmatrix} R(3 \times 3) & t(3 \times 1)\\ f(1 \times 3) & s(1 \times 1)\end{pmatrix}
[/mm]
mit R: Rotationsmatrix
t: Translation
s: Skalierungsfaktor
und f: perspektivische Transformation |
Hi,
ich frage mich jetzt, was bewirkt mein Skalierungsfaktor?
-> einfach eine Verschiebung des Ortes zu gleichen Anteilen?
und aber vorallem unklar ist mir, was eine perspektivische Transformation bewirken soll?
... wäre nett wenn sich da jemand auskennt und mir auf die Sprünge hilft.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Di 02.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> homogene Transformationsmatrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix} R(3 \times 3) & t(3 \times 1)\\ f(1 \times 3) & s(1 \times 1)\end{pmatrix}[/mm]
>
> mit R: Rotationsmatrix
> t: Translation
> s: Skalierungsfaktor
> und f: perspektivische Transformation
> Hi,
>
> ich frage mich jetzt, was bewirkt mein Skalierungsfaktor?
> -> einfach eine Verschiebung des Ortes zu gleichen
> Anteilen?
Nein: Transformationsmatrizen des projektiven Raums sind ja nur bis auf Vielfache eindeutig, und Vielfache ergeben die gleiche Transformation. Du kannst die ganze Matrix also mit [mm] $\frac{1}{s}$ [/mm] multiplizieren und erhaelst die gleiche Transformation. Das Multiplizieren mit [mm] $\frac{1}{s}$ [/mm] bewirkt, dass der Skalierungsfaktor von der entstehenden Matrix gleich 1 ist, und dass der Rotations-, Translations- und perspektivische-Transformations-Anteil mit [mm] $\frac{1}{s}$ [/mm] skaliert wird.
Wenn du einen homogenen Vektor [mm] $\pmat{ x \\ y \\ z \\ w }$ [/mm] hast, wird er durch den Skalierungsfaktor zu [mm] $\pmat{ x/s \\ y/s \\ z/s \\ w }$.
[/mm]
> und aber vorallem unklar ist mir, was eine perspektivische
> Transformation bewirken soll?
Der perspektivische-Transformations-Anteil fuegt zur w-Koordinate eine Linearkombination der x-/y-/z-Koordinaten hinzu. Da du wieder mit [mm] $\frac{1}{w}$ [/mm] multiplizieren kannst, ohne den Punkt im projektiven Raum zu veraendern, erhaelst du damit eine Moeglichkeit, die x-, y- und z-Eintraege des transformierten Vektors durch eine Linearkombination eben dieser Komponenten (bzw. deren Werte vor der Transformation) zu teilen.
Wenn du z.B. (gemaess des Strahlensatzes) die x- und y-Koordinate durch z teilen moechtest, nimmst du die Matrix [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0}$: [/mm] diese bildet z.B. [mm] $\pmat{x \\ y \\ z \\ 1}$ [/mm] auf [mm] $\pmat{x \\ y \\ z \\ z}$ [/mm] ab, und dies ist (im projektiven Raum) gleich [mm] $\pmat{x/z \\ y/z \\ 1 \\ 1}$.
[/mm]
Ansonsten probier doch mal fuer ein paar einfache Matrizen aus, was passiert; Eintraege, die `nichts' machen, sind [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$ [/mm] fuer die Rotationsmatrix, $1$ fuer den Skalierungsfaktor, [mm] $\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] fuer die Translation, [mm] $\pmat{ 0 & 0 & 0}$ [/mm] fuer die perspektivische Transformation. Waehle immer alle Felder wie diese und veraender nur eins, und schau dir an was mit dem Vektor [mm] $\pmat{x \\ y \\ z \\ w}$ [/mm] passiert. ![[]](/images/popup.gif) Hier gibt es auch ein wenig was zu sehen.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:00 Mi 03.09.2008 | | Autor: | iamfgu |
Also erstmal Danke, nur leider ist das für mich so immer noch nicht klar.
| Aufgabe 1 | | Transformationsmatrizen des projektiven Raums sind ja nur bis auf Vielfache eindeutig |
Was soll das heissen? (der Artikel auf Wikipedia hilft mir da nicht wirklich weiter)
| Aufgabe 2 | | ..und ganz generell was ist der Sinn des projektiven Raums? |
| Aufgabe 3 | | und dass der Rotations-, Translations- und perspektivische-Transformations-Anteil mit $ [mm] \frac{1}{s} [/mm] $ skaliert wird |
ja und was habe ich jetzt davon? wenn jetzt s=1 dann passiert nichts und wenn jetzt aber s [mm] \not= [/mm] 1 was habe ich dann davon?
| Aufgabe 4 | | und für was benötige ich so ne perspektivische Transformation so, in der Praxis? |
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 03.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
Schreib doch mal wofuer du das ganze brauchst bzw. was du ueberhaupt ueber homogene Koordinaten / Transformationen weisst. Das hilft beim Antworten ganz enorm... :)
Ansonsten bin ich gerade leider etwas beschaeftigt, ich kann noch nicht sagen wann ich dazu komme zu antworten... Also falls sonst wer will, kann er das gern tun ;)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Do 04.09.2008 | | Autor: | iamfgu |
Hallo,
also ich verwende diese Matrix im Bereich der Robotik zur Beschreibung der Kinematik eines Roboters.
Nun ist es hier konkret so, dass in diesem Zusammenhang der Skalierungsfaktor s=1 und die perspektivische Transformation f=(0,0,0) gewählt wird.
Es interessiert mich jetzt halt was eine Veränderung dieser Faktoren genau bewirkt.
Bzgl der homogenen Koordinaten weiss ich eigentlich nur, dass ich so in der Lage bin in einer 4x4 Matrix Rotation und Translation gemeinsam darzustellen. (statt der getrennten Verwendung mit 3x3 Matrix und Translationsvektor)
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Fr 19.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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