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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 So 27.07.2008 | | Autor: | nodd1005 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis der Lösungsmenge des homogenen GLS
[mm] \pmat{ 0 & 2 & \wurzel{\pi} & 0 & 5 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 2 } [/mm] * x = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus! Geben Sie eine weitere Basis an! |
Wie berechne ich hier die Basis?
Meine Idee:
1.Klapptest (zur Bestimmung der Größe vom Vektor x -> 5(Zeilen)x1(Spalte)
2. GJA (neue Auszeichnungen habe ich in () und alte Auszeichnungen in [] gestellt):
Ausgangsschema
[mm] \pmat{ 0 & 2 & (\wurzel{\pi}) & 0 & 5 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Neuschema
[mm] \pmat{ 0 & 2 & [\wurzel{\pi}] & 0 & 5 \\ 0 & (3) & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Neuschema
[mm] \pmat{ 0 & 0 & [3\wurzel{\pi}] & 0 & 9 \\ 0 & [3] & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & (-9) }
[/mm]
Endschema
[mm] \pmat{ 0 & 0 & [3\wurzel{\pi}] & 0 & 0 \\ 0 & [-27] & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & [-9] }
[/mm]
damit habe ich ja bewiesen, dass die Vektoren linear unabhängig von einander sind und der Vektor x nur der 5x1-Nullvektor sein kann.
Aber was nehme ich dann als Basis? und wie kann ich die 2. Basis bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie eine Basis der Lösungsmenge des homogenen
> GLS
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & \wurzel{\pi} & 0 & 5 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
> * x = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> mit dem
> Gauß-Jordan-Algorithmus! Geben Sie eine weitere Basis an!
> Wie berechne ich hier die Basis?
>
> Meine Idee:
>
> 1.Klapptest (zur Bestimmung der Größe vom Vektor x ->
> 5(Zeilen)x1(Spalte)
>
> 2. GJA (neue Auszeichnungen habe ich in () und alte
> Auszeichnungen in [] gestellt):
>
> Ausgangsschema
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & (\wurzel{\pi}) & 0 & 5 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Neuschema
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & [\wurzel{\pi}] & 0 & 5 \\ 0 & (3) & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Neuschema
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & [3\wurzel{\pi}] & 0 & 9 \\ 0 & [3] & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & (-9) }[/mm]
>
> Endschema
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & [3\wurzel{\pi}] & 0 & 0 \\ 0 & [-27] & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & [-9] }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
die Durchführung Deines GJA ist mir nicht klar, aber ich erhalte auch ein Endschema, welches dieselben Schlüsse zuläßt wie Deins.
> damit habe ich ja bewiesen, dass die Vektoren linear
> unabhängig von einander sind und der Vektor x nur der
> 5x1-Nullvektor sein kann.
Nein.
Du siehst an dem Schema, daß die 2., 3. und 5. Koordinate Deines Lösungsvektors [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5} [/mm] jeweils =0 sein muß, daß der Lösungsvektor also die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5} =\vektor{x_1\\0\\0\\x_4\\0} [/mm] haben muß.
Die 1. und 4. Koordinate unterliegen keinen Beschränkungen, können also völlig beliebig gewählt werden.
Du kannst einen jeden Lösungsvektor also schreiben als [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5} =\vektor{x_1\\0\\0\\x_4\\0}=x_1\vektor{1\\0\\0\\0\\0}+x_4\vektor{0\\0\\0\\1\\0}, [/mm] und damit ist
[mm] (\vektor{1\\0\\0\\0\\0}, \vektor{0\\0\\0\\1\\0}) [/mm] eine Basis des Lösungsraumes. Jede zwei Vektoren, die denselben Raum [mm] <\vektor{1\\0\\0\\0\\0}, \vektor{0\\0\\0\\1\\0}< [/mm] aufspannen, bilden auch eine Basis.Da wird Dir sicher was einfallen.
Gruß v. Angela
P.S.: Wie gesagt ist mir Deine Durchführung des Algorithmus nicht recht klar. Normalerweise, als Handrechner, steuert man auf eine schöne Zeilenstufenform zu, aber in der Numerik gibt's ja so Pivotisierungsgeschichten, wahrscheinlich machst Du sowas.
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> Aber was nehme ich dann als Basis? und wie kann ich die 2.
> Basis bestimmen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 So 27.07.2008 | | Autor: | nodd1005 |
Hallo,
hab vielen Dank (für das nette Willkommen und auch die gute Erklärung)
nur zur Sicherheit:
bei der Bestimmung der 2. Basis setze ich für x1 und x4 einfach Zahlen ein, sodass x1 [mm] \not= [/mm] x4 (das wäre ja unter'm Strich die gleiche Basis wie die 1.) und weder x1, noch x4 = 0
also z.B.:
2. Basis: [mm] (\vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0})
[/mm]
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> Hallo,
>
> hab vielen Dank (für das nette Willkommen und auch die gute
> Erklärung)
>
> nur zur Sicherheit:
> bei der Bestimmung der 2. Basis setze ich für x1 und x4
> einfach Zahlen ein, sodass x1 [mm]\not=[/mm] x4 (das wäre ja unter'm
> Strich die gleiche Basis wie die 1.) und weder x1, noch x4
> = 0
>
> also z.B.:
>
> 2. Basis: [mm](\vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0})[/mm]
Hallo,
das wäre nicht verkehrt, aber irgendwie etwas billig...
Du willst doch zeigen, wie intelligent Du bist!
Du kannst zwei beliebige Linearkombinationen der beiden Basisvektoren der ersten Basis nehmen, sofern die Ergebnisvektoren linear unabhängig sind.
Ich nenne die erste Bassis mal [mm] (b_1, b_2).
[/mm]
Du könntest als neue Basis z.B. auch [mm] c_1:= 2b_1+3b_2 [/mm] und [mm] c_2=4b_1+5b_2 [/mm] nehmen. und viele andere!
Hingegen wäre [mm] d_1:= 2b_1+3b_2 [/mm] und [mm] d_2:= 10b_1+15b_2 [/mm] keine Basis.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 So 27.07.2008 | | Autor: | nodd1005 |
ja, ich muss erst mal die leichteren Sachen hinbekommen...
das mit c1, c2 und d1,d2 hab ich aber verstanden - danke...
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