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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Mi 02.06.2004 | | Autor: | mausi |
Betrachte die folgenden Unterräume von [mm] Q^5
[/mm]
:
Bestimme ein homogenens lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge der Unteraum
W ist.
U:=Lin [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\2\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\0\\4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\2\\5\end{pmatrix} W:=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\-6\\-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -5 \\-2\\-5\end{pmatrix} [/mm]
ich hab keine Ahnung wie das geht,bitte mal erklären,Schritt für Schritt
danke schon im vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
kannst du die Frage bitte noch ein Wenig präzisieren?
Was spielt der Unterraum $U$ für eine Rolle?
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Mi 02.06.2004 | | Autor: | mausi |
Also mehr ist zu der aufgabe nicht gegeben bei W steht auch W:=Lin()
b) ist dann noch bestimme eine Basis von U [mm] \cap [/mm] W
c) Berechne die Dimension von U + V . Ist U + V eine direkte Summe?
mehr steht nicht in der Aufgabe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
alles klar. $U$ hat mit der Teilaufgabe a) nichts zu tun!
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
ich weiss nicht, ob mein Lösungsansatz der Eleganteste ist, aber vielleicht kannst du ihn nachvollziehen.
Gesucht sind also Koeffizienten einer Matrix mit den Zeilenvektoren
[mm] $(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)$, [/mm] so dass gilt:
[mm] $0c_1+0c_2+0c_3-6c_4-7c_5=0$ [/mm] und
[mm] $3c_1-c_2-5c_3-2c_4-5c_5=0$
[/mm]
Das ist ein Gleichungssystem, das du nach den [mm] $c_i$ [/mm] auflösen kannst.
(2 Gleichungen mit 5 Unbekannten sollte einen 3-dimensionalen Lösungsraum ergeben).
Von diesem Lösungsraum musst du dann nur 3 unabhängige Vektoren finden, die dann automatisch deinen Bedingungen gerecht werden (dass die Vektoren aus $W$ auf den Null-Vektor abgebildet werden).
Ich hoffe, dass du das Gleichungssystem auflösen kannst. Falls nicht, führe ich es hier gerne vor, mit dem Gauss-Verfahren sollte es aber kein allzugrosses Problem sein.
Ich habe zum Beispiel die folgenden 3 unabhängigen Lösungen erhalten:
[mm] $(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5) [/mm] = (16,0,0,-21,-18)$
[mm] $(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5) [/mm] = (0,16,0,7,-6)$
[mm] $(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5) [/mm] = (0,0,16,35,-30)$
Was zu folgendem Gleichungssystem führt (das ist somit eine Lösung der teilaufgabe a)):
[mm] $16*x_1-21*x_4-18*x_5=0$
[/mm]
[mm] $16*x_2+7*x_4-6*x_5=0$
[/mm]
[mm] $16*x_3+35*x_4-30*x_5=0$
[/mm]
Oder in Matrix-Schreibweise:
[mm]\begin{pmatrix}16&0&0&-21&18\\0&16&0&7&-6\\0&0&16&35&-30\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm]
Eine Prüfung ergibt, dass die beiden Vektoren aus $W$ tatsächlich das homogene Gleichungssystem erfüllen. Allgemeiner: jede Linearkombination der Beiden Vektoren aus $W$ erfüllt das Gleichungssystem. das Kannst du vielleicht auch selbst noch nachprüfen, es müsste gelten:
[mm]\begin{pmatrix}16&0&0&-21&18\\0&16&0&7&-6\\0&0&16&35&-30\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}3\lambda_{2}\\-\lambda_{2}\\-5\lambda_{2}\\-6\lambda_{1}-2\lambda_{2}\\-7\lambda_{1}-5\lambda_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm]
Ich hoffe, dass die Antwort nicht allzu knapp ausgefallen ist! Sonst meldest du dich einfach wieder.
Ich kann aber höchstwahrscheinlich erst wieder am Freitagaben hineinschauen! Es findet sich aber sicher jemand, der inzwischen einspringt! 
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