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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:30 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Löse folgendes Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 0&2& 1 \\ 1&0 & -1\\1&2&0\\1&4&1 }\vektor{0 \\ 0 \\0 \\ 0} [/mm] |
Hallo,
wenn ich mit dem Gauss-Algrithmus die Matrix auf die Normalform bringe, kriege ich nur die triviale Lösung, also [mm] x_{1},x_{2},x_{3}=0.
[/mm]
Wie bekommt man die anderen Lösungen?
SG
Igor
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> Löse folgendes Gleichungssystem:
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> [mm]\pmat{ 0&2& 1 \\ 1&0 & -1\\1&2&0\\1&4&1 }\vektor{0 \\ 0 \\0 \\ 0}[/mm]
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> Hallo,
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> wenn ich mit dem Gauss-Algrithmus die Matrix auf die
> Normalform bringe, kriege ich nur die triviale Lösung, also
> [mm]x_{1},x_{2},x_{3}=0.[/mm]
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> Wie bekommt man die anderen Lösungen?
Hallo,
zeig' doch mal, was Du bisher gerechnet hast, dann kann man Dir direkt an Deiner Rechnung helfen - und muß nicht alles selbst schreiben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Angela ,
ich habe so umgeformt: [mm] \pmat{1&4&1\\1&0&-1 \\1 & 2&0 \\ 0 & 2&1 } [/mm] (1gl(-1) +2gl.)
[mm] \pmat{1&4&1 \\0&-4&-2 \\1 & 2&0 \\ 0 & 2&1 } [/mm] (1gl(-1) +3gl)
[mm] \pmat{1&4&1 \\0&-4&-2 \\0 &- 2&-1 \\ 0&2&1 } [/mm] 2gl +3gl (-2)
[mm] \pmat{1&4&1 \\0&-4&-2 \\0&0&0 \\ 0 & 2&1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 4&1 \\ 0&-4 & -2\\0&2&1\\0&0&0 } [/mm]
SG
Igor
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> Hallo Angela ,
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> ich habe so umgeformt: [mm]\pmat{1&4&1\\1&0&-1 \\1 & 2&0 \\ 0 & 2&1 }[/mm]
> (1gl(-1) +2gl.)
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> [mm]\pmat{1&4&1 \\0&-4&-2 \\1 & 2&0 \\ 0 & 2&1 }[/mm] (1gl(-1)
> +3gl)
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> [mm]\pmat{1&4&1 \\0&-4&-2 \\0 &- 2&-1 \\ 0&2&1 }[/mm] 2gl +3gl
> (-2)
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> [mm]\pmat{1&4&1 \\0&-4&-2 \\0&0&0 \\ 0 & 2&1 }[/mm]
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> [mm]\pmat{ 1 & 4&1 \\ 0&-4 & -2\\0&2&1\\0&0&0 }[/mm]
Hallo,
das sieht bis hierher richtig aus.
Du kannst das aber noch weitertreiben, denn Du hast die Zeilenstufenform noch nicht erreicht.
Addiere ddie zweite Zeile zum Doppelten der dritten. Dann bekommst Du:
[mm] \pmat{ 1 & 4&1 \\ 0&-4 & -2\\0&0&0\\0&0&0 }
[/mm]
Du hattest ein homogenes lineares Gleichungssystem mit drei Variablen.
Du siehst nun, daß der Rang der Koeffizientenmatrix =2 ist, also hat der Lösungsraum die Dimension 1 - man muß ihn nur noch finden.
Der Lösungsraum hat die Dimension 1, Du kannst also eine Variable frei wählen, etwa
[mm] x_3:= \lambda [/mm] mit [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Aus der zweiten Zeile erfährst Du dann [mm] 0=-4x_2-2x_3=-4x_2- 2\lambda [/mm] <==>
[mm] x_2= -\bruch{1}{2}\lambda.
[/mm]
Die erste Zeile sagt: [mm] 0=x_1+4x_2+x_3 [/mm] <==> [mm] x_1=-4x_2-x_3 [/mm] <==>
[mm] x_1=2\lambda-\lambda=\lambda.
[/mm]
Insgesamt gilt für den Lösungsvektor
[mm] \vektor{x_1 \\x_2\\x_3}=\vektor{\lambda \\-\bruch{1}{2}\lambda\\\lambda }=\lambda\vektor{1 \\-\bruch{1}{2}\\1}
[/mm]
Der Lösungsraum des GS wird also aufgespannt von [mm] \vektor{1 \\-\bruch{1}{2}\\1}, L=<\vektor{1 \\-\bruch{1}{2}\\1}>.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du das nachvollziehen und in Zukunft selbst durchführen kann, kannst's ja mal an einem anderen Beispiel testen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Danke schön für die Erklärung!
Wir haben nur vor kurzem mit Dimension und ect. angefangen. Ich denke , dass ich noch etwas dies bezüglich nachlesen soll.
SG
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Angela,
ich habe so nachgedacht... und meine , dass wir Rang und Dimension noch nicht hatten. Entweder habe ich etwas in der Vorlesung verpasst oder wir haben das noch nicht gemacht.
Wenn ich was in der Vorlesung was verpasst habe, werde ich es nachholen. Wenn wir jedoch das noch nicht gemacht haben, gibt es denn eine andere Methode , die die Voraussetzungen eines Anfängers erfüllt?
Ich kenne bis jetzt nur Gauss -Algorithmus und was homogen und inhomogen heisst.
SG
Igor
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Hallo,
auf jeden Fall mußt Du den Algorithmus bis zum Ende durchführen, wie ich es getan habe.
Dort, wo die Stufe "breiter als 1" ist, darfst Du Dir für jede Stelle, die die Stufe breiter als 1 ist, eine Variable frei wählen.
Bei Dir endete der Algorithmus mit einer Stufe der Breite zwei. Also durfte ich eine Variable, entweder [mm] x_2 [/mm] oder [mm] x_3, [/mm] freiwählen.
Ich hatte mich für [mm] x_3 [/mm] entschieden.
Wie man dann weitermacht, hatte ich ja erklärt.
Gruß v. Angela
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