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hübsche Aufgabe, fiese Lösung: konvexe Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Mi 25.05.2011
Autor: fred97

Gestern ist mir eine hübsche Fragestellung zu Ohren gekommen.

Motivation: Sei [mm] $T:C^2[0,1] \to [/mm] C[0,1]$ definiert durch

                      $T(f):=f''$,

Dann ist T linear und es gilt für $f [mm] \in C^2[0,1]$: [/mm]


      f ist auf [0,1] konvex    [mm] \gdw [/mm]    $(T(f))(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].



Frage:  gibt es eine lineare Abbildung $S:C[0,1] [mm] \to [/mm] C[0,1]$ mit: für $f [mm] \in [/mm] C[0,1]$ gilt

        f ist auf [0,1] konvex    [mm] \gdw [/mm]    $(S(f))(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].

Die Antwort auf diese Frage ist: ja.

Man zeige dies.

Meine Meinung zur mir vorliegenden Lösung: "fies". Andere mögen das anders sehen ....

FRED


P.S.:

Vielleicht könnte jemand unter den Moderatoren diese Aufgabe in der üblichen Weise deklarieren.





        
Bezug
hübsche Aufgabe, fiese Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Mi 25.05.2011
Autor: fred97

Hallo Angela,

ich danke Dir fürs "deklarieren"

Gruß FRED

Bezug
        
Bezug
hübsche Aufgabe, fiese Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:41 Do 26.05.2011
Autor: fred97

Schade, dass sich noch niemand an obiger Aufgabe versucht hat. Zwei Tipps:

1. für f [mm] \in [/mm] C[0,1]  gilt:

         f ist konvex auf [0,1]  [mm] \gdw $\bruch{f(x)+f(y)}{2} \ge [/mm] f( [mm] \bruch{x+y}{2})$ [/mm]  für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,1]

2. Peano, Peano, Peano,...

FRED

Bezug
                
Bezug
hübsche Aufgabe, fiese Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Do 26.05.2011
Autor: felixf

Moin Fred,

> Schade, dass sich noch niemand an obiger Aufgabe versucht
> hat.

ich hab sie gerade erst entdeckt...

> Zwei Tipps:
>  
> 1. für f [mm]\in[/mm] C[0,1]  gilt:
>  
> f ist konvex auf [0,1]  [mm]\gdw[/mm]       [mm]\bruch{f(x)+f(y)}{2} \ge f( \bruch{x+y}{2})[/mm]
>  für alle x,y [mm]\in[/mm] [0,1]
>  
> 2. Peano, Peano, Peano,...

Jetzt hast du die Loesung ja schon (fast) verraten :-)

LG Felix


Bezug
        
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hübsche Aufgabe, fiese Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Fr 27.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo

Sei    F:  [mm] [0...1]^2\to\IR [/mm]  mit  [mm] F(x,y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f\left(\frac{x+y}{2}\right) [/mm]

und    P:  [mm] [0...1]\to [0...1]^2 [/mm]   eine stetige, surjektive
"Peano-Abbildung", welche das Intervall $\ [0...1]$ auf
das Quadrat [mm] [0...1]^2 [/mm] abbildet.

Nun sei    $\ S:\ [mm] C([0...1])\to\ [/mm] C([0...1])$
                 $\ [mm] f\quad\ \mapsto\ \quad [/mm] S(f)$   mit  $\ (S(f))(z):=F(P(z))$

Die Linearität von $\ S$ , also

    $\ S(f+g)=S(f)+S(g)$

    $\ [mm] S(\lambda*f)=\lambda*S(f)$ [/mm]

ist leicht zu zeigen.

Ist ferner $\ f$ konvex, so gilt $\ [mm] F(x,y)\ge0$ [/mm] für alle
$\ [mm] (x,y)\in [0...1]^2$ [/mm] und damit $\ [mm] (S(f))(z)\ge0$ [/mm] für alle $\ [mm] z\in [/mm] [0...1]$ .

Gilt umgekehrt  $\ [mm] (S(f))(z)\ge0$ [/mm] für alle $\ [mm] z\in [/mm] [0...1]$ , so
muss f konvex sein, denn wegen der Surjektivität
von P "prüft" ja die in S eingebaute Funktion F
wirklich alle Paare $\ [mm] (x,y)\in [0...1]^2$ [/mm] auf die Erfüllung
der Konvexitätsbedingung.

FRED, falls du wirklich diese Lösung im Sinn hattest,
was ist daran "fies" ?
Ich finde nur, dass die Lösung wohl in keinem Sinne
praktikabel ist, um tatsächlich eine gegebene auf [0..1]
definierte Funktion auf Konvexität zu prüfen.

LG    Al

Bezug
                
Bezug
hübsche Aufgabe, fiese Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Fr 27.05.2011
Autor: fred97


> Hallo
>  
> Sei    F:  [mm][0...1]^2\to\IR[/mm]  mit  
> [mm]F(x,y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f\left(\frac{x+y}{2}\right)[/mm]
>  
> und    P:  [mm][0...1]\to [0...1]^2[/mm]   eine stetige, surjektive
> "Peano-Abbildung", welche das Intervall [mm]\ [0...1][/mm] auf
> das Quadrat [mm][0...1]^2[/mm] abbildet.
>  
> Nun sei    [mm]\ S:\ C([0...1])\to\ C([0...1])[/mm]
> [mm]\ f\quad\ \mapsto\ \quad S(f)[/mm]   mit  [mm]\ (S(f))(z):=F(P(z))[/mm]
>  
> Die Linearität von [mm]\ S[/mm] , also
>  
> [mm]\ S(f+g)=S(f)+S(g)[/mm]
>  
> [mm]\ S(\lambda*f)=\lambda*S(f)[/mm]
>  
> ist leicht zu zeigen.
>  
> Ist ferner [mm]\ f[/mm] konvex, so gilt [mm]\ F(x,y)\ge0[/mm] für alle
> [mm]\ (x,y)\in [0...1]^2[/mm] und damit [mm]\ (S(f))(z)\ge0[/mm] für alle [mm]\ z\in [0...1][/mm]
> .
>  
> Gilt umgekehrt  [mm]\ (S(f))(z)\ge0[/mm] für alle [mm]\ z\in [0...1][/mm] ,
> so
> muss f konvex sein, denn wegen der Surjektivität
>  von P "prüft" ja die in S eingebaute Funktion F
>  wirklich alle Paare [mm]\ (x,y)\in [0...1]^2[/mm] auf die
> Erfüllung
>  der Konvexitätsbedingung.
>  
> FRED, falls du wirklich diese Lösung im Sinn hattest,
>  was ist daran "fies" ?

Hallo Al,

.. "fies" ist natürlich Geschmacksache....,

aber ohne die zwei Tipps ( insbesondere "Peano") ist die Lösung alles andere als naheliegend.

>  Ich finde nur, dass die Lösung wohl in keinem Sinne
>  praktikabel ist, um tatsächlich eine gegebene auf [0..1]
>  definierte Funktion auf Konvexität zu prüfen.

Darum gehts ja auch nicht.

Gruß FRED

>  
> LG    Al


Bezug
                        
Bezug
hübsche Aufgabe, fiese Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 27.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> > Sei    F:  [mm][0...1]^2\to\IR[/mm]  mit  
> > [mm]F(x,y)=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f\left(\frac{x+y}{2}\right)[/mm]
>  >  
> > und    P:  [mm][0...1]\to [0...1]^2[/mm]   eine stetige, surjektive
> > "Peano-Abbildung", welche das Intervall [mm]\ [0...1][/mm] auf
> > das Quadrat [mm][0...1]^2[/mm] abbildet.
>  >  
> > Nun sei    [mm]\ S:\ C([0...1])\to\ C([0...1])[/mm]
> > [mm]\ f\quad\ \mapsto\ \quad S(f)[/mm]   mit  [mm]\ (S(f))(z):=F(P(z))[/mm]
>    
> > Die Linearität von [mm]\ S[/mm] , also
>  >  
> > [mm]\ S(f+g)=S(f)+S(g)[/mm]
>  >  
> > [mm]\ S(\lambda*f)=\lambda*S(f)[/mm]
>  >  
> > ist leicht zu zeigen.
>  >  
> > Ist ferner [mm]\ f[/mm] konvex, so gilt [mm]\ F(x,y)\ge0[/mm] für alle
> > [mm]\ (x,y)\in [0...1]^2[/mm] und damit [mm]\ (S(f))(z)\ge0[/mm] für alle [mm]\ z\in [0...1][/mm]
>  >  
> > Gilt umgekehrt  [mm]\ (S(f))(z)\ge0[/mm] für alle [mm]\ z\in [0...1][/mm] ,
> > so muss f konvex sein, denn wegen der Surjektivität
>  >  von P "prüft" ja die in S eingebaute Funktion F
>  >  wirklich alle Paare [mm]\ (x,y)\in [0...1]^2[/mm] auf die
> > Erfüllung
>  >  der Konvexitätsbedingung.
>  >  
> > FRED, falls du wirklich diese Lösung im Sinn hattest,
>  >  was ist daran "fies" ?
>  
> Hallo Al,
>  
> .. "fies" ist natürlich Geschmacksache....,
>  
> aber ohne die zwei Tipps ( insbesondere "Peano") ist die
> Lösung alles andere als naheliegend.

Natürlich - ich wäre bestimmt nicht ohne den Tipp mit
Peano drauf gekommen. Auch diesen interpretierte ich
zunächst in Richtung vollständige Induktion. Dass eine
Peano-Kurve (das Stichwort kam mir schon auch in den
Sinn) tatsächlich Hilfe bringen könnte, konnte ich mir
zunächst nicht recht vorstellen, bis mir felixf noch den
entscheidenden Anstoß gab ...
  

>  >  Ich finde nur, dass die Lösung wohl in keinem Sinne
>  >  praktikabel ist, um tatsächlich eine gegebene auf [0..1]
>  >  definierte Funktion auf Konvexität zu prüfen.
>  
> Darum gehts ja auch nicht.
>
> Gruß FRED

Vielen Dank jedenfalls für diese am Ende doch recht
überraschende Aufgabe.

Al

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