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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - hypergeometrische Verteilung
hypergeometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hypergeometrische Verteilung: Herleitung der Varianz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mo 24.02.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Gegeben ist eine Grundgesamtheit aus N Elementen, von denen M eine bestimmte Eigenschaft haben. Man entnimmt eine Stichprobe vom Umfang n (ohne Zurücklegen). Dann kann die Zufallsvariable X = Anzahl der Elemente in der Stichprobe mit der gewünschten Eigenschaft höchstens die Werte x = 0, 1, 2, ..., n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, genau x Elemente mit der gewünschten Eigenschaft in der Stichprobe vorzufinden, ist

P(X = x) = [mm] \bruch{\vektor{M \\ x} \vektor{N - M \\ n - x}}{\vektor{N \\ n}} [/mm]

Man nennt X hypergeometrisch verteilt und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern n, M und N. Kurzschreibweise: X [mm] \sim [/mm] H(n; M; N).

Hallo,

hier werden nach Definition der hypergeometrischen Verteilung Erwartungswert

[mm] \mu [/mm] = E(X) = [mm] n\bruch{M}{n} [/mm]

und Varianz

[mm] \sigma^2 [/mm] = Var(X) = [mm] n\bruch{M}{N}(1 [/mm] - [mm] \bruch{M}{N})\bruch{N - n}{N - 1} [/mm]

vorgestellt und folgendermaßen hergeleitet:

"Herleitung der Formeln: Für den Erwartungswert berechnen wir zunächst [mm] \summe_{i=0}^{M} i\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i} [/mm] = ... = [mm] M\bruch{n}{N}\vektor{N \\ n}... [/mm]
Dividieren wir beide Seiten dieser Identität durch [mm] \vektor{N \\ n}, [/mm] so steht links [mm] \mu [/mm] und rechts M [mm] \bruch{n}{N}. [/mm]
Die Formel für [mm] \sigma^2 [/mm] folgt analog, indem man [mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - [mm] 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i} [/mm] = M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n} [/mm] zeigt."

Ich kann zwar einen Weg von

[mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - [mm] 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i} [/mm]

nach

M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n} [/mm]

finden, was ich hieran aber nicht verstehe ist:

1) Wieso soll anscheinend gelten:

[mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}} [/mm]

2) Die Rechnung endet wie gesagt bei

... = M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n} [/mm]

Aber

[mm] \bruch{M(M - 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n}}{\vektor{N \\ n}} \not= n\bruch{M}{N}(1 [/mm] - [mm] \bruch{M}{N})\bruch{N - n}{N - 1} [/mm] = [mm] \sigma^2 [/mm] (siehe []hier)

        
Bezug
hypergeometrische Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Mo 24.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1) Wieso soll anscheinend gelten:
>  
> [mm]\sigma^2[/mm] = [mm]\bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}}[/mm]

Tut es nicht und steht auch nirgends.
Da steht nur, dass dir die Berechnung von  [mm]\bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}} = \summe_{i=0}^{M} i(i - 1)P(X = i)[/mm] bei der Berechnung von [mm] $\sigma^2$ [/mm] hilft.

Denn es ist [mm] \summe_{i=0}^{M} i(i - 1)P(X = i) = \summe_{i=0}^{M} i^2P(X = i) - \summe_{i=0}^{M} iP(X = i) = E[X^2] - \mu[/mm]

D.h. es gilt: [mm] $\sigma^2 [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] \mu [/mm] + [mm] \mu(1 [/mm] - [mm] \mu) [/mm] =  [mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - 1)P(X = i) + [mm] \mu(1 [/mm] - [mm] \mu)$ [/mm]

Du musst also zu deinem Ergebnis noch was dazuaddieren…

Gruß,
Gono

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