idempotente Matrix/Projektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Fr 16.03.2007 | | Autor: | ThommyM |
Hallo!
Leider sind meine Lineare Algebra Vorlesungen schon etwas her und trotz des Durchforstens meiner Unterlagen finde ich nicht die Antwort zu meiner Frage, die in einem fachfremden Zusammenhang aufgetreten ist. Und zwar geht es um eine idempotente Matrix, also Matrizen, die wenn man sie mit sich selbst multipliziert wieder die Matrix ergeben und die zusätzlich noch symmetrisch ist.
Dass eine idempotente Matrix eine Projektion auf das Bild der zur Matrix gehörenden Abbildung darstellt, ist mir ja irgendwie klar. Aber wie sieht diese Projektion aus bzw. ist sie orthogonal? Und wenn ja, inwieweit steht diese Orthogonalität im Zusammenhang mit der Symmetrie der Matrix? Bin jetzt schon einige Zeit am grübeln, aber ich komm nicht drauf...
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>Und zwar geht es um eine
> idempotente Matrix, also Matrizen, die wenn man sie mit
> sich selbst multipliziert wieder die Matrix ergeben
Hallo,
das bedingt, daß alle Eigenwerte entweder =0 oder =1 sind.
>und die
> zusätzlich noch symmetrisch ist.
Das sagt uns, daß alle Eigenwerte reell sind (was ja aufgrund der Eigenschaft "idempotent" schon klar ist),daß die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten aufeinander senkrecht stehen, und daß sie eine ONB aus Eigenvektoren hat.
Hier habe wir dann die Orthogonalität der Projektion:
Die Basisvektoren, welche Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind, sind die, die den Raum, auf welchen projeziert wird, aufspannen.
Die Basisvektoren, welche Eigenvektoren zum EW 0 sind, sind senkrecht zu ersteren und werden auf die 0 abgebildet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Sa 17.03.2007 | | Autor: | ThommyM |
Ah ja, ich glaube ich verstehe, vielen Dank. Du meinst also, dass es Eigenvektoren gibt, die eine Orthonormalbasis des Raumes bilden, aus dem heraus abgebildet wird, oder? Dann habe ich es glaub ich verstanden.
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> Ah ja, ich glaube ich verstehe, vielen Dank. Du meinst
> also, dass es Eigenvektoren gibt, die eine Orthonormalbasis
> des Raumes bilden, aus dem heraus abgebildet wird, oder?
Ja, das ist die Stelle, an der die Symmetrie der Matrix zum Tragen kommt, wonach Du ja fragtest.
Gruß v. Angela
> Dann habe ich es glaub ich verstanden.
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