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identität von f in Komposition: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 So 07.12.2008
Autor: Peano08

Aufgabe
Es seine V ein K-vektorraum und f: V-> V eine lineare Abbildung mit f °f=f. Zeigen Sie:

a) V=Kern f  [mm] \oplus [/mm] Bild f

b) f surjektiv <=> f injektiv <=> f= [mm] id_v [/mm]  

bei a) weiß ich, dass ich zwei inclusionen zeigen muss, die Frage ist bloß, wie ich das bei so allgemeinen Abb. mache?

und bei b) werd ich das per Ringschluss machen, nur wie kann ich dann aus f surj. f inj. schließen, von 2. aufs 3. und vom 3. auf 1. ? mir fehlen da jegliche Ansätze zu.


Danke schon mal im Voraus.

        
Bezug
identität von f in Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Mo 08.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Es seine V ein K-vektorraum und f: V-> V eine lineare
> Abbildung mit f °f=f. Zeigen Sie:
>
> a) V=Kern f  [mm]\oplus[/mm] Bild f
>  
> b) f surjektiv <=> f injektiv <=> f= [mm]id_v[/mm]  
> bei a) weiß ich, dass ich zwei inclusionen zeigen muss,

Hallo,

wenn Du auch verraten würdest, welche Du meinst, wäre das sehr erhellend, Du mußt damit rechnen, daß wir nicht alle Deine Gedanken erraten können.

Zeigen mußt Du hier  zweierlei:

1. Man kann jedes [mm] v\in [/mm] V schreiben als v=b+k mit [mm] b\in [/mm] Bild f und [mm] k\in [/mm] Kern f   (also V=Kern f + Bild f)

2. Bildf [mm] \cap [/mm] kern f [mm] =\{0\} [/mm]    (die Summe ist direkt)

> die
> Frage ist bloß, wie ich das bei so allgemeinen Abb. mache?

Die allgemeine Abbildung hat ja eine sehr spezielle Eigenschaft, die muß natürlich ausgespielt werden.

Hast Du Dir denn schonmal eine (von der Identität verschiedene) Abildung überlegt, für die [mm] f\circ [/mm] f=f ist? Hieran geprüft, ob die Eigenschaften stimmen? Wenn man die Sache mal konkret durchgespielt hat, flutscht der Beweis meist besser.



>  
> und bei b)

Ist eigentlich vorausgesetzt, daß der VR V endlichdimensional ist?

Gruß v. Angela


werd ich das per Ringschluss machen, nur wie

> kann ich dann aus f surj. f inj. schließen, von 2. aufs 3.
> und vom 3. auf 1. ? mir fehlen da jegliche Ansätze zu.





Bezug
                
Bezug
identität von f in Komposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:28 Mo 08.12.2008
Autor: Peano08

Hi, leider eben nicht, das ist ja grad mein Problem, wäre das endlich dimensional, könnte ich einfach einen bewiesenen Satz aus dem Skript anwenden...

Bezug
                        
Bezug
identität von f in Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Mo 08.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Hi, leider eben nicht, das ist ja grad mein Problem, wäre
> das endlich dimensional, könnte ich einfach einen
> bewiesenen Satz aus dem Skript anwenden...  

Hallo,

der Weg zum Glück ist hier dann die Zerlegung in die 4 zu beweisenden Aussagen, hast Du das schon getan?

Wie weit bist Du denn mit den Beweisen gekommen, an welchen Stellen hängst Du warum?

i) f surjektiv  ==> f injektiv.

Voraussetzung: f surjektiv, dh. f(V)=V

zu zeigen: f injektiv, dh.   ??? Was ist hier zu zeigen? Bedenke, daß f linear ist.

Beweis: ...


Gruß v. Angela




Bezug
                                
Bezug
identität von f in Komposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Mo 08.12.2008
Autor: Peano08

In welche 4 Aussagen...? ich kann doch auch von F surj. => f inj. [mm] =>f=id_v [/mm] => F surj. pr Ringschluss schließen, oder?
Ich habe auch nach langem suchen keinen Ansatz mit f surj. => f inj. , wobei ich f linear einschließe...
Knnst du mir nicht noch einen Tipp geben?

Bezug
                                        
Bezug
identität von f in Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Mo 08.12.2008
Autor: fred97

Nimm mal an, Du hättest schon gezeigt, dass


V=Kern f  $ [mm] \oplus [/mm] $ Bild f .

ist.

Sei f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Bild f = V [mm] \Rightarrow [/mm] kern f ={0} [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv. Sei x [mm] ¸\in [/mm] V . V = Bildf, also ex y [mm] \in [/mm] V: x = f(y). Dann f(x) = f(f(y)) = f(y) = x. Fazit:  f = id.


FRED



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identität von f in Komposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Mo 08.12.2008
Autor: Peano08

Danke. Das hat mir geholfen...da war ich ja ganz schön blind....


Kannst du mir denn vll auch einen ANSATZ für den ertsen Teil mitgeben? Möchte es dann noch selbst versuchen...


Danke schonmal

Bezug
                                                        
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identität von f in Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mo 08.12.2008
Autor: fred97

Zu zeigen:

V=Kern f  $ [mm] \oplus [/mm] $ Bild f


Sei y [mm] \in [/mm] V . Dann : y = f(y) +(y-f(y))

Zeige: der 1. Summand liegt im Bildf, der 2. in Kernf
Dann hast Du schon: V=Kern f  + Bild f .

Zeige noch: Kern f  [mm] \cap [/mm] Bild f = {0}

Dann bist Du fertig

FRED

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identität von f in Komposition: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Mo 08.12.2008
Autor: Peano08

Danke, hat mir echt gut geholfen...Hab die aufgabe fertig..

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