imaginäre gleichung lösung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] z^2+e^{-i\bruch{\pi}{2}}|z|^2+\bruch{7}{4}(z+\overline{z}+10e^{i\pi})=0 [/mm] für z [mm] \in \IC
[/mm]
Finde alle Lösungen der Gleichung |
[mm] z=re^{i \phi } [/mm] r=|z|
[mm] [re^{i \phi }]^{2}+e^{-i\bruch{\pi}{2}}r^2+\bruch{7}{4}(re^{i \phi }+re^{-i \phi }+10e^{i\pi})=0 [/mm]
[mm] r^{2} (re^{i \phi }+e^{-i\bruch{\pi}{2}}) +r(\bruch{7}{4}e^{i \phi }+\bruch{7}{4}e^{-i \phi })+\bruch{35}{2}e^{i\pi}=0
[/mm]
muss jetzt nach r aufgelöst werden (mit hilfe abs formel)?
was ist mit [mm] \phi? [/mm] ist [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
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Hallo Kreide,
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> [mm]z^2+e^{-i\bruch{\pi}{2}}|z|^2+\bruch{7}{4}(z+\overline{z}+10e^{i\pi})=0[/mm]
> für z [mm]\in \IC[/mm]
>
> Finde alle Lösungen der Gleichung
> [mm]z=re^{i \phi }[/mm] r=|z|
>
> [mm][re^{i \phi }]^{2}+e^{-i\bruch{\pi}{2}}r^2+\bruch{7}{4}(re^{i \phi }+re^{-i \phi }+10e^{i\pi})=0[/mm]
>
> [mm]r^{2} (re^{i \phi }+e^{-i\bruch{\pi}{2}}) +r(\bruch{7}{4}e^{i \phi }+\bruch{7}{4}e^{-i \phi })+\bruch{35}{2}e^{i\pi}=0[/mm]
Ein r zuviel:
[mm]r^{2} \left(e^{i \red{2}\phi }+e^{-i\bruch{\pi}{2}}\right) +r \left(\bruch{7}{4}e^{i \phi }+\bruch{7}{4}e^{-i \phi }\right)+\bruch{35}{2}e^{i\pi}=0[/mm]
>
> muss jetzt nach r aufgelöst werden (mit hilfe abs formel)?
> was ist mit [mm]\phi?[/mm] ist [mm]\phi=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
Löse diese quadratische Gleichung nach r auf, dann bekommst Lösungen die von dem Winkel [mm]\phi[/mm] abhängen.
Demnach [mm]r_{1,2}\left(\phi\right)\ = \ \dots[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
ich komme dann, mit hilfe der abc formel auf:
[mm] r_{1,2}=\bruch{-( \bruch{7}{4}e^{i \phi }+\bruch{7}{4}e^{-i \phi })-\wurzel{(\bruch{7}{4}e^{i \phi }+\bruch{7}{4}e^{-i \phi})^2-4(e^{2i \phi }+ e^{-i \bruch{\pi}{2} })*\bruch{70}{4}e^{i \pi }}}{2(e^{i \phi2 }+e^{-i \bruch{\pi}{2} })}
[/mm]
[mm] =\bruch{- \bruch{7}{4}e^{i \phi }-\bruch{7}{4}e^{-i \phi }-\wurzel{\bruch{49}{16}e^{2i \phi }+\bruch{49}{8}e^{0}+ \bruch{49}{16}e^{-2i \phi} -70e^{2i \phi }+ 70e^{-i \bruch{\pi}{2}}}}{2e^{i \phi2 }+2e^{-i \bruch{\pi}{2} }}
[/mm]
wär die Aufgabe damit gelöst?
sieht ZIEMLICH hässlich aus, wenn ich ehrlich bin und das war ne klausuraufgabe....?!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mo 25.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denk, dass der Rat, nach r aufzulösen falsch war, denn dann brauchst du ja noch die Bedingung, dass r reell sein muss um [mm] \phi [/mm] zu bestimmen.
ich denke die spezielle Aufgabe löst du mit [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] nicht einfach.
zerlege in z=x+iy, benutze [mm] z+\overline{z}=x e^{i\pi}=-1 e^{-i\pi/2}=-i
[/mm]
und setze Realteil und Img. Teil deines Ergebnisses einzeln Null.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
ok, werd das dann mal versuchen, aber wie kommst du darauf, dass
[mm] z+\overline{z}=x e^{i\pi}=-1 e^{-i\pi/2}=-i [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 25.02.2008 | | Autor: | abakus |
> ok, werd das dann mal versuchen, aber wie kommst du darauf,
> dass
> [mm]z+\overline{z}=x e^{i\pi}=-1 e^{-i\pi/2}=-i[/mm] ?
Hallo Kreide,
ich teile deine Zweifel.
[mm] $z+\overline{z}=2x$
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Di 26.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> > ok, werd das dann mal versuchen, aber wie kommst du darauf,
> > dass
> > [mm]z+\overline{z}=x e^{i\pi}=-1 e^{-i\pi/2}=-i[/mm] ?
>
> Hallo Kreide,
>
> ich teile deine Zweifel.
>
> [mm]z+\overline{z}=2x[/mm]
>
> Viele Grüße
> Abakus
ich sehe dass wie abakus... wie man auf das kommt was leduart geschrieben hat, ist mir ein rätsel....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Di 26.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tut mir leid, da fehlten ein paar Zwischenräume und ne 2
Also:
$ [mm] z+\overline{z}=2x$ [/mm]
[mm] $e^{i\pi}=-1 [/mm] $
[mm] $e^{-i\pi/2}=-i [/mm] $
ie letzten 2 zeichne dir einfach auf.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Di 26.02.2008 | | Autor: | Kreide |
oh... stimmt!
Dann sähe es ja aus wie folgt
[mm] (x+iy^)²-i(x²+y²)+\bruch{7}{4}(2x-10)=0
[/mm]
[mm] (x²+2xiy-y²)-ix²-iy²+\bruch{7}{2}x-\bruch{35}{2}=0
[/mm]
aufteilen in Real und imaginärteil und die jeweils gleich 0 setzen
Realteil:
[mm] x²+\bruch{7}{2}x-\bruch{35}{2}-y²=0
[/mm]
[mm] x²+\bruch{7}{2}x-\bruch{35}{2}=y²
[/mm]
Imaginärteil:
2xy-x²-y²=0
x²-2xy+y²=0
(x-y)²=0
x=y das in realteil einsetzen:
[mm] y²+\bruch{7}{2}y-\bruch{35}{2}=y²
[/mm]
[mm] \bruch{7}{2}y-\bruch{35}{2}=0
[/mm]
y=5
[mm] \Rightarrow [/mm] x=5
Also ist die Lösung der Gleichung das zahlenpaar (5,5)
stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Do 28.02.2008 | | Autor: | Kreide |
hab ich die aufgabe im vorherigen thread richtig gelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 28.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, du kannst das Ergebnis doch rasch in die Ursprungsgl. einsetzen und selbst bestätigen!
Gruss leduart
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