implizite Fkt ?! < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Fr 16.06.2006 | | Autor: | thommy |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
ich hab eine frage zum 2. teil der aufgabe. Sehe ich es richtig das man hier mit dem Satz über Umkehrfunktionen (implizite Fkt.) rangehen muss oder liege ich total falsch?
also ich würd gern zeigen das det(A-E)!=0 ist, jedoch weiß ich nicht wie ich das machen soll. Die Einschränkung, das jede Zeile der Matrix betraglich kleiner 1 ist muss man sicherlich irgendwie verwenden, nur wie? 
ich bin dankbar für jede kleine Anregung
grüße thommy
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Das lineare Gleichungssystem [mm](A - E) x = b[/mm] ist genau dann eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System [mm](A - E) x = 0[/mm] nur die triviale Lösung besitzt. Letzteres kann man aber auch als Fixpunktproblem auffassen:
[mm]Ax = x[/mm]
Betrachte daher die Abbildung [mm]T(x) = Ax[/mm] für [mm]x \in V[/mm] und weise für sie die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes nach, also die Existenz einer positiven Konstanten [mm]L<1[/mm] mit
[mm]\left\| T(x) - T(y) \right\|_{\infty} \leq L \, \left\| x - y \right\|_{\infty}[/mm] für alle [mm]x,y \in V[/mm]
Wegen der Linearität von [mm]T[/mm] genügt es sogar,
[mm]\left\| T(x) \right\|_{\infty} \leq L \, \left\| x \right\|_{\infty}[/mm] für alle [mm]x \in V[/mm]
nachzuweisen. Und beim Abschätzen sollte dir auffallen, daß es mit [mm]L = \max_i \left\{ \sum_j ~ \left| a_{ij} \right| \right\}[/mm] funktioniert.
Der Fixpunktsatz garantiert dann, daß nur [mm]x=0[/mm] das homogene System löst.
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