implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Menge
A={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}| z^{2}+2xy-1=0 [/mm] } ,B= { (x,y,z) [mm] \in \IR^{3}| z^{2}+x^{2}-y^{2}+xy-20=0 [/mm] }
und einen Punkt [mm] (x_{0},y_{0},z_{0}) \in A\cap [/mm] B mit [mm] (x_{0},y_{0}) \not= [/mm] (0,0).
(a) Zeigen Sie, dass es eine offene Menge W [mm] \subseteq \IR [/mm] mit [mm] z_{0} \in [/mm] W gibt und differenzierbare Funktionen f,g:W [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] f(z_{0})=x_{0},
[/mm]
[mm] g(z_{0})=y_{0} [/mm] gibt, sodass(f(z),g(z),z) [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B für alle z [mm] \in [/mm] W.
(b) Zeigen Sie (für die f,g,W von (a)), dass 2f(z)f'(z)-2g(z)g'(z)+z=0, für alle z [mm] \in [/mm] W.
Hinweis: Benutzen Sie den Satz über implizite Funktionen über eine Funktion [mm] F(z,x,y)=(F_{1}(z,x,y),F_{2}(z,x,y)).
[/mm]
Wir betrachten x und y als Funktionen von z. |
Hallo,
bezieht sich der Hinweis nur auf (b) oder auf die ganze Aufgabe ?
Gruss
Igor
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Igor1,
> Wir betrachten die Menge
>
> A={(x,y,z) [mm]\in \IR^{3}| z^{2}+2xy-1=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ,B= { (x,y,z) [mm]\in \IR^{3}| z^{2}+x^{2}-y^{2}+xy-20=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> und einen Punkt [mm](x_{0},y_{0},z_{0}) \in A\cap[/mm] B mit
> [mm](x_{0},y_{0}) \not=[/mm] (0,0).
> (a) Zeigen Sie, dass es eine offene Menge W [mm]\subseteq \IR[/mm]
> mit [mm]z_{0} \in[/mm] W gibt und differenzierbare Funktionen f,g:W
> [mm]\to \IR[/mm] mit [mm]f(z_{0})=x_{0},[/mm]
> [mm]g(z_{0})=y_{0}[/mm] gibt, sodass(f(z),g(z),z) [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B für
> alle z [mm]\in[/mm] W.
> (b) Zeigen Sie (für die f,g,W von (a)), dass
> 2f(z)f'(z)-2g(z)g'(z)+z=0, für alle z [mm]\in[/mm] W.
>
> Hinweis: Benutzen Sie den Satz über implizite Funktionen
> über eine Funktion [mm]F(z,x,y)=(F_{1}(z,x,y),F_{2}(z,x,y)).[/mm]
> Wir betrachten x und y als Funktionen von z.
>
> Hallo,
>
> bezieht sich der Hinweis nur auf (b) oder auf die ganze
> Aufgabe ?
>
Der Hinweis bezieht sich auf die ganze Aufgabe.
>
> Gruss
> Igor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Do 06.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe die Aufgabenstellung so wiedergegeben, wie diese auf dem Übungsblatt stand. Es ist aber merkwürdig , dass im Hinweis die Funktion
als Variable (z,x,y) und nicht (x,y,z) hat.
Macht es also hier Sinn (z,x,y) zu betrachten?
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo,
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> ich habe die Aufgabenstellung so wiedergegeben, wie diese
> auf dem Übungsblatt stand. Es ist aber merkwürdig , dass
> im Hinweis die Funktion
> als Variable (z,x,y) und nicht (x,y,z) hat.
>
> Macht es also hier Sinn (z,x,y) zu betrachten?
Die Schreibweise [mm]F\left(z,x,y\right)[/mm] soll hier die Abhängigkeit
der Variablen x und y von z ausdrücken.
Ob Du jetzt [mm]F\left( \ z, \ x\left(z\right), \ y\left(z\right) \ \right)[/mm]
oder [mm]F\left( \ x\left(z\right), \ y\left(z\right) \ ,z\right)[/mm] betrachtet
ist egal, da diese beiden Reihenfolgen gleichbedeutend sind.
>
> Gruss
> Igor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe den Satz über implizite Funktionen in "Analysis 2" von Otto Forster betrachtet und möchte nun , um diesen anwenden zu können, die benötigte Funktion F konstruieren/definieren.
Mein Versuch ist folgender:
Seien [mm] U_{1} \subset \IR [/mm] und [mm] U_{2}\subset \IR^{2} [/mm] offene Teilmengen und
F: [mm] U_{1}x U_{2} \to \IR^{2} [/mm] , (z,(x(z),y(z))) [mm] \mapsto F(z,(x(z),y(z)):=(z^{2}+2x(z)y(z)-1,z^{2}+x(z)^{2}-y(z)^{2}+x(z)y(z)-20) [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion (soweit ok?).
Nächste Voraussetzung , um den Satz anwenden zu können, ist die Existenz eines Punktes (a,b) aus [mm] U_{1}x U_{2} [/mm] mit F(a,b)=0.
In der Aufgabenstellung ist ein Punkt [mm] (x_{0},y_{0},z_{0}) [/mm] gegeben.
Kann ich diesen als Voraussetzung übernehmen?
Wenn ich diesen Punkt in F einsetzten möchte, dann muss [mm] x_{0}, y_{0} [/mm] von [mm] z_{0} [/mm] abhängen. Woher kann man das entnehmen,dass tatsächlich die Abhängigkeit besteht (wenn überhaupt)?
Ist der Ansatz im Grossen und Ganzen in Ordnung?
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 11.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
kann ich vielleicht einfach die Funktionen x und y passend definieren, dass [mm] x(z_{0})= x_{0} [/mm] und [mm] y(z_{0})=y_{0}?
[/mm]
Kann ich also mit dem Ansatz weitermachen?
Oder , Ihr dürft auch Tipps zur Lösung der Aufgabe geben, wenn ihr wollt und könnt  .
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo,
>
> kann ich vielleicht einfach die Funktionen x und y passend
> definieren, dass [mm]x(z_{0})= x_{0}[/mm] und [mm]y(z_{0})=y_{0}?[/mm]
>
> Kann ich also mit dem Ansatz weitermachen?
Ja.
>
> Oder , Ihr dürft auch Tipps zur Lösung der Aufgabe geben,
> wenn ihr wollt und könnt .
>
>
> Gruss
> Igor
>
Gruss
MathePower
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Hallo Igor1,
> Hallo,
>
> ich habe den Satz über implizite Funktionen in "Analysis
> 2" von Otto Forster betrachtet und möchte nun , um diesen
> anwenden zu können, die benötigte Funktion F
> konstruieren/definieren.
>
> Mein Versuch ist folgender:
>
> Seien [mm]U_{1} \subset \IR[/mm] und [mm]U_{2}\subset \IR^{2}[/mm] offene
> Teilmengen und
>
> F: [mm]U_{1}x U_{2} \to \IR^{2}[/mm] , (z,(x(z),y(z))) [mm]\mapsto F(z,(x(z),y(z)):=(z^{2}+2x(z)y(z)-1,z^{2}+x(z)^{2}-y(z)^{2}+x(z)y(z)-20)[/mm]
> eine stetig differenzierbare Funktion (soweit ok?).
Ja.
>
> Nächste Voraussetzung , um den Satz anwenden zu können,
> ist die Existenz eines Punktes (a,b) aus [mm]U_{1}x U_{2}[/mm] mit
> F(a,b)=0.
> In der Aufgabenstellung ist ein Punkt [mm](x_{0},y_{0},z_{0})[/mm]
> gegeben.
>
> Kann ich diesen als Voraussetzung übernehmen?
Klar.
> Wenn ich diesen Punkt in F einsetzten möchte, dann muss
> [mm]x_{0}, y_{0}[/mm] von [mm]z_{0}[/mm] abhängen. Woher kann man das
> entnehmen,dass tatsächlich die Abhängigkeit besteht (wenn
> überhaupt)?
Aus der Auflösbarkeit der Gleichung[mm]F\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=\pmat{0 \\ 0}[/mm] nach [mm]x_{0}, \ y_{0}[/mm]
>
> Ist der Ansatz im Grossen und Ganzen in Ordnung?
>
Ja.
>
>
> Gruss
> Igor
>
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:03 Di 11.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo MathePower,
danke für die Antowrt !
Ich habe eine Frage bezüglich des Begriffs "stetig differenzierbar" für eine Abbildung f: U [mm] \to \IR^{m} [/mm] (U [mm] \in \IR^{n} [/mm] offen).
Ich habe stark die Vermutung , dass eine solche Funktion genau dann stetig differenzierbar genannt wird, wenn jede Komponentenfunktion stetig diff.bar ist.
Jedoch in "Analysis 2" von Otto Forster habe ich die Definition nicht gefunden.
Dort steht nur , dass f diff.bar [mm] \gdw [/mm] alle Komponenten diff.bar sind.
Ich konnte aus den Informationen wie diese und Definitionen der partiellen Diff.barkeit , stetig partieller Diffbarkeit nicht Schluss folgern , dass man unter "stetig diff.bar" genau das meint, was ich stark vermutet habe.
Wie lautet also die Definition von stetig diff.bar ?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Do 13.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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