implizite Funktion mit exp(x) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Fr 09.07.2004 | | Autor: | danimax |
Hallo liebe Leute!
Ich habe folgendes Problem, dass ich natürlich in keinem weiteren Forum o.Ä. gepostet habe...
Also ich versuche gerade (seit Stunden) die Funktion f: [mm] \IR²\ [/mm] -> [mm] \IR\
[/mm]
f(u,v)= x*exp(x)+y*exp(y)
durch den Satz der impliziten Funktion lokal in (0,0) nach y aufzulösen.
Jetzt habe ich nur ein Problem, ich muss ja zuerst die Vorraussetzungen prüfen, ob f stetig diffbar ist.
->Naja aber die Exponentialfunktion ist doch das unstetigste was man sich vorstellen kann....
Und selbst wenn ich dies erstmal vernachlässige muss ich ja einen Punkt (x,y) finden für das f(x,y)=0 gilt und weiterhin die Ableitung Dyf(x,y) [mm] \ne [/mm] 0 ist...
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Der komplette Aufgabentext lautet:
Man definiere f: [mm] \IR²\ [/mm] -> [mm] \IR\ [/mm] durch:
F(u,v)= x*exp(x)+y*exp(y)
-Beweisen Sie dass sich F in (0,0) lokal nach y auflösen lässt und berechnen SIe die Ableitung der impliziten Funktion, die durch die Gleichung F(x,y)=0 gegeben ist.
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Ich danke Jedem der sich meinem Problem annimmt und mir hilft vom *AufDemSchlauchStehen* weg zu kommen..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Ja mir bitte, wie muss ich denn bei dieser Aufgabe vorgehen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $F(x,y) = [mm] xe^x+ye^y$
[/mm]
Es ist [mm] $F_y(x,y) [/mm] = [mm] (1+y)e^y$, [/mm] also
$F(0,0) = 0$ und [mm] $F_y(0,0) [/mm] = 1$
Nach dem Satz über implizit definierte Funktionen ex. eine offene Umgebung U von 0 und eine Funktion f: U [mm] \to \IR [/mm] mit
$F(x,f(x)) = 0$ für jedes x [mm] \in [/mm] U und $f(0) =0$
Differenziere die letzte Gleichung nach x, so erhälst Du $f'(x)$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Danke für die schnelle Antwort
1. Wieso leitest du nach y ab?
2. Was ist jetzt mein f(x)? die Ableitung?
Ich bräuchte mehr die Idee und das warum, als den Rechenweg.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Kennst Du überhaupt den Satz über implizit definierte Funktionen ?
Wenn ja, so, so verstehe ich Deine Fragen nicht.
Wenn nein, so mach Dich schlau
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, die Ableitung muss man machen
da die partiellen Ableitungen von F nach den y-Variablen im Punkt (x0,y0) invertierbar sein müssen,
Okay, Also habe ich durch die Ableitung nach y sozusagen dies sichergestellt,
Aber mein f(x), wie sieht das aus?
Sorry ich stehe etwas auf dem Schlauch
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Okay, die Ableitung muss man machen
>
> da die partiellen Ableitungen von F nach den y-Variablen im
> Punkt (x0,y0) invertierbar sein müssen,
>
>
> Okay, Also habe ich durch die Ableitung nach y sozusagen
> dies sichergestellt,
>
> Aber mein f(x), wie sieht das aus?
>
f ist implizit gegeben durch
$ F(x,f(x)) = 0 $ für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ U
Explizit kannst Du f nicht bestimmen !!
FRED
> Sorry ich stehe etwas auf dem Schlauch
>
> Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 20.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(x)=y das sieht nicht aus. Du kannst die implizite fkt auch nicht durch einen ausdruck aufloesen, sondern nur beweisen dass es bei 0 ein Aufl. gibt.
Dann sollst du die implizite ableitung finden.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Also ist die Ableitung:
0 = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))f'(x) [/mm]
Jetzt nach f'(x) umstellen und dann ergibt sich daraus:
[mm] f'(x)=\bruch{(1+x)e^x}{f_y(x,f(x))} [/mm]
Wie rechne ich den Nenner aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ist die Ableitung:
>
> = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))f'(x)[/mm]
Nicht ganz richtig ! Mit meinen Bezeichnungen von oben gilt:
[mm]\bruch{\partial F}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial F}{\partial x}(x,f(x))f'(x) = 0[/mm] auf U
Löse die nach $f'(x)$ auf
FRED
>
> kann ich dies noch ausrechnen? wohl nicht oder?
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Ja hab ich gemacht, habe meinen Betrag editiert, les ihn dir nochmal durch.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ist die Ableitung:
>
> 0 = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))f'(x)[/mm]
>
Nochmal:
0 = [mm]\bruch{\partial F}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial F}{\partial x}(x,f(x))f'(x)[/mm]
> Jetzt nach f'(x) umstellen und dann ergibt sich daraus:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(1+x)e^x}{f_y(x,f(x))}[/mm]
Nein.
[mm] $f'(x)=-\bruch{(1+x)e^x}{F_y(x,f(x))}= -\bruch{(1+x)e^x}{(1+f(x))e^{f(x)}}$
[/mm]
>
> Wie rechne ich den Nenner aus?
Damit muß man sich begnügen:
$f'(x) = [mm] -\bruch{(1+x)e^x}{(1+f(x))e^{f(x)}}$
[/mm]
FRED
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, danke für deine Hilfe
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Bemerkung. Wegen f(0) = 0 bekommst Du "immerhin": f'(0) = 1
FRED
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