implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Di 26.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Skizzieren Sie die Menge [mm] M:=\{ \vektor{x\\y} \in \IR^2 | (y-x^2)(y-x-2)=0\} [/mm] und stellen Sie anhand der Skizze fest, zu welchen Punkten [mm] \vektor{x\\y} \in M [/mm] Umgebungen existieren in denen sich die Gleichung [mm] (y-x^2)(y-x-2)=0 [/mm] eindeutig nach x bzw. nach y auflösen lässt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
also die Skizze ist die Normalparabel und eine Gerade durch 0/2 und alle Punkte x,y auf der Parabel und der Geraden gehören zu M.
Ich fürchte, ich habe das Kapitel über implizite Funktionen in meinem Skript nicht richtig verstanden oder ist das hier so banal:
Ich löse nach x und nach y auf und erhalte über [mm] y=x^2 [/mm] und y=x+2
wenn ich nach x auflöse: (x-2)(x+1)=0
wenn ich nach y auflöse: (y-1)(y+4)=0
Stimmt das ?
Und was bedeutet eindeutig ? Ich bekomme ja 2 Lösungen pro x und y ?
Danke, Susanne.
|
|
| |
|
> Skizzieren Sie die Menge [mm]M:=\{ \vektor{x\\y} \in \IR^2 | (y-x^2)(y-x-2)=0\}[/mm]
> und stellen Sie anhand der Skizze fest, zu welchen Punkten
> [mm]\vektor{x\\y} \in M[/mm] Umgebungen existieren in denen sich die
> Gleichung [mm](y-x^2)(y-x-2)=0[/mm] eindeutig nach x bzw. nach y
> auflösen lässt.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> also die Skizze ist die Normalparabel und eine Gerade
> durch 0/2 und alle Punkte x,y auf der Parabel und der
> Geraden gehören zu M.
> Ich fürchte, ich habe das Kapitel über implizite
> Funktionen in meinem Skript nicht richtig verstanden oder
> ist das hier so banal:
> Ich löse nach x und nach y auf und erhalte über [mm]y=x^2[/mm] und
> y=x+2
> wenn ich nach x auflöse: (x-2)(x+1)=0
> wenn ich nach y auflöse: (y-1)(y+4)=0
> Stimmt das ?
> Und was bedeutet eindeutig ? Ich bekomme ja 2 Lösungen pro
> x und y ?
>
> Danke, Susanne.
Hallo Susanne,
wichtig ist hier vor allem, was mit dem Begriff
"Umgebung" gemeint ist. Es gibt z.B. keine
Umgebung [mm] U_\varepsilon(x_0) [/mm] mit [mm] x_0\in\IR [/mm] und [mm] \varepsilon>0 [/mm] , in welcher
die Gleichung eindeutig nach y auflösbar ist.
Sind aber Umgebungen in [mm] \IR^2 [/mm] gemeint, also
z.B. Umgebungen der Art
[mm] U_\varepsilon(x_0,y_0)=\{(x,y)\ |\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2<\varepsilon^2\,\}
[/mm]
dann besitzt jeder Punkt der Menge M ausser den
beiden Schnittpunkten (-1,1) und (2,4) von Gerade
und Parabel eine solche Umgebung, innerhalb wel-
cher die durch die Gleichung gegebene Relation
bijektiv ist.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Di 26.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Al-Chwarizmi
dank deiner Erklärung habe ich das Thema jetzt besser verstanden - vielen Dank !
LG, Susanne.
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi
> dank deiner Erklärung habe ich das Thema jetzt besser
> verstanden - vielen Dank !
>
> LG, Susanne.
Das ging aber schnell !
Schönen Tag noch !
|
|
|
| |
|
> Skizzieren Sie die Menge [mm]M:=\{ \vektor{x\\y} \in \IR^2 | (y-x^2)(y-x-2)=0\}[/mm]
> und stellen Sie anhand der Skizze fest, zu welchen Punkten
> [mm]\vektor{x\\y} \in M[/mm] Umgebungen existieren in denen sich die
> Gleichung [mm](y-x^2)(y-x-2)=0[/mm] eindeutig nach x bzw. nach y
> auflösen lässt.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> also die Skizze ist die Normalparabel und eine Gerade
> durch 0/2 und alle Punkte x,y auf der Parabel und der
> Geraden gehören zu M.
> Ich fürchte, ich habe das Kapitel über implizite
> Funktionen in meinem Skript nicht richtig verstanden oder
> ist das hier so banal:
> Ich löse nach x und nach y auf und erhalte über [mm]y=x^2[/mm] und
> y=x+2
> wenn ich nach x auflöse: (x-2)(x+1)=0
> wenn ich nach y auflöse: (y-1)(y+4)=0
> Stimmt das ?
> Und was bedeutet eindeutig ? Ich bekomme ja 2 Lösungen pro
> x und y ?
In meiner ersten Antwort bin ich gar nicht auf deine
Gleichungen eingegangen. Wenn man das Gleichungs-
system
$\ [mm] y=x^2\quad \wedge\quad [/mm] y=x+2$
auflöst, so kommt man tatsächlich auf die Gleichung
(x-2)(x+1)=0, deren zwei Lösungen den x-Koordi-
naten der beiden Schnittpunkte entsprechen.
Bei der Auflösung des Systems nach y kommt man
allerdings nicht auf (y-1)(y+4)=0, sondern auf
(y-1)(y-4)=0.
Diese Bestimmung der Schnittpunkte ist allerdings
nur ein Stück Vorarbeit zur eigentlichen Beantwortung
der gestellten Frage.
Gruß Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Di 26.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
> In meiner ersten Antwort bin ich gar nicht auf deine
> Gleichungen eingegangen. Wenn man das Gleichungs-
> system
>
> [mm]\ y=x^2\quad \wedge\quad y=x+2[/mm]
>
> auflöst, so kommt man tatsächlich auf die Gleichung
> (x-2)(x+1)=0, deren zwei Lösungen den x-Koordi-
> naten der beiden Schnittpunkte entsprechen.
> Bei der Auflösung des Systems nach y kommt man
> allerdings nicht auf (y-1)(y+4)=0, sondern auf
> (y-1)(y-4)=0.
> Diese Bestimmung der Schnittpunkte ist allerdings
> nur ein Stück Vorarbeit zur eigentlichen Beantwortung
> der gestellten Frage.
Hallo Al-Chwarizmi,
ja, das weiss ich schon, aber dank deiner Erklärungen habe ich die Aufgabe jetzt verstanden (glaube ich zumindest  ) - und meinen Fehler gefunden.
Also, und wenn ich das jetzt wirklich richtig verstanden habe, dann müsste es aber noch für alle y<0 doch auch eine Umgebung geben, für die y eindeutig auflösbar ist, oder ?
LG, Susanne.
|
|
|
| |
|
> Also, und wenn ich das jetzt wirklich richtig verstanden
> habe, dann müsste es aber noch für alle y<0 doch auch eine
> Umgebung geben, für die y eindeutig auflösbar ist, oder ?
Richtig. So ist es, weil die Parabel gar nicht in den
Bereich y<0 reicht. Aus jedem negativen y-Wert
lässt sich also der zugehörige x-Wert durch x:=y-2
eindeutig bestimmen.
Gruß Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Kleine Sprachregelung:
Oft findet man, wie auch hier, die Bezeichnung "implizite Funktion". Die Eigenschaft "implizit" einer Funktion gibt es nicht. Daher sollte man besser sagen: "implizit definierte Funktion".
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Mi 27.05.2009 | | Autor: | SusanneK |
> Kleine Sprachregelung:
>
> Oft findet man, wie auch hier, die Bezeichnung "implizite
> Funktion". Die Eigenschaft "implizit" einer Funktion gibt
> es nicht. Daher sollte man besser sagen: "implizit
> definierte Funktion".
>
> FRED
Hallo Fred,
ja stimmt - die Überschrift des Kapitels lautet :
Implizit definierte Funktionen
|
|
|
|
