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Liebe Matheräumler
Ich verzweifle. Wir haben das Thema implizite Funktionen an der Uni. Ich kann mir darunter aber aber nichts vorstellen. Ich hab mein Skript gelesen, Wikipedia durchforstet und versucht mich ganz allgemein im Internet schlau zu machen.
Immer wieder taucht das Beispiel vom Kreis in der Ebene auf, aber wir müssen (glaube ich zumindest) auch mit mehrdimensionalen Problemen klar kommen. Das Beispiel mit dem Kreis habe ich begriffen, aber versteh das grosse Prinzip nicht.
Ich hätte schon eine konkrete Aufgabe zu lösen, aber ich seh nicht womit ich es zu tun habe, weshalb eine konkrete Aufgabe für mein Problem (noch) nicht hilfreich erscheint.
Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüsse
Cassiopaya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 So 16.05.2010 | | Autor: | Pappus |
> Keine Aufgabe
> Liebe Matheräumler
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> Ich verzweifle. Wir haben das Thema implizite Funktionen an
> der Uni. Ich kann mir darunter aber aber nichts vorstellen.
> Ich hab mein Skript gelesen, Wikipedia durchforstet und
> versucht mich ganz allgemein im Internet schlau zu machen.
> Immer wieder taucht das Beispiel vom Kreis in der Ebene
> auf, aber wir müssen (glaube ich zumindest) auch mit
> mehrdimensionalen Problemen klar kommen. Das Beispiel mit
> dem Kreis habe ich begriffen, aber versteh das grosse
> Prinzip nicht.
> Ich hätte schon eine konkrete Aufgabe zu lösen, aber ich
> seh nicht womit ich es zu tun habe, weshalb eine konkrete
> Aufgabe für mein Problem (noch) nicht hilfreich
> erscheint.
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Liebe Grüsse
>
> Cassiopaya
1. Geh einmal semantisch vor: Was heißt eigentlich implizit? Laut Wahrig ist damit gemeint, wenn etwas in einen größeren Zusammenhang einbezogen wird. Und nun übertrage diese fulminante Erkenntnisse auf Funktionen:
2. Bei dem Graphen einer Funktion im 2D stellt der Funktionswert den Abstand eines Graphenpunktes zur x-Achse dar; im 3D stellt der Funktionswert den Abstand des Graphenpunktes von der x-y-Zahlenebene dar. Ab 3D wird es ein bisschen unübersichtlich - aber berechenbar.
3. Wenn nun der Funktionswert nicht explizit ausgerechnet wird (also f(x) = ... oder y = ***) sondern in der Rechenvorschrift enthalten ist, spricht man von einer impliziten Darstellung der Funktion oder kurz von impliziten Funktionen.
4. Beispiel:
a) explizit: [mm]y=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{144-9x^2}[/mm]
ist der obere Bogen von
b) implizit: [mm]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1[/mm]
5. Von Interesse ist eigentlich hier die Frage, ob man implizit dargestellte Funktionen auch ableiten oder integrieren kann - was wahrscheinlich das Thema Deines Kurses sein dürfte.
Gruß
Pappus
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| Aufgabe | Zeige, dass ein Intervall I [mm] \in \IR [/mm] mit 0 [mm] \in [/mm] I und eindeutig bestimmte Fkt. y: I [mm] \to \IR [/mm] und z: I [mm] \to \IR [/mm] mit y(0)=z(0)=1 existieren, so dass (x,y(x),z(x)) das Gleichungssystem:
[mm] e^{y-z} [/mm] = [mm] y+x*\wurzel{z}
[/mm]
[mm] y^z=z^{xy} [/mm]
für x [mm] \in [/mm] I löst. |
Danke, Pappus. Irgendwie hab ich das mit dem Implizit verstanden, aber es fehlt der Durchblick immer noch.
Vielleicht muss ich trotzdem ein konkretes Beispiel angeben, obwohl ich nicht wie vorgeschrieben einen Lösungsansatz bieten kann. Ich seh ja nicht mal, was die von mir wollen.
Ich kann mir nicht vorstellen, was y und z sind. Ich weiss nicht in wievielen Dimensionen ich mich beweg, ich weiss nicht mal, nach was ich auflösen soll. Weil ich das Prinzip nicht verstehe.
Hilft mir trotzdem jemand?
Merci
Cassiopaya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 16.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Cassiopaya!
> Zeige, dass ein Intervall [mm]I \in \IR[/mm] mit [mm]0 \in I[/mm] und
> eindeutig bestimmte Fkt. [mm]y: I \to \IR[/mm] und [mm]z: I \to \IR[/mm] mit
> [mm]y(0)=z(0)=1[/mm] existieren, so dass [mm](x,y(x),z(x))[/mm] das
> Gleichungssystem:
> [mm]e^{y-z} = y+x*\wurzel{z}[/mm]
> [mm]y^z=z^{xy}[/mm]
> für [mm]x \in I[/mm] löst.
> Danke, Pappus. Irgendwie hab ich das mit dem Implizit
> verstanden, aber es fehlt der Durchblick immer noch.
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> Vielleicht muss ich trotzdem ein konkretes Beispiel
> angeben, obwohl ich nicht wie vorgeschrieben einen
> Lösungsansatz bieten kann. Ich seh ja nicht mal, was die
> von mir wollen.
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> Ich kann mir nicht vorstellen, was y und z sind. Ich weiss
> nicht in wievielen Dimensionen ich mich beweg, ich weiss
> nicht mal, nach was ich auflösen soll. Weil ich das
> Prinzip nicht verstehe.
OK, ich versuche mal, das Problem aufzudröseln.
Es ist ein dreidimensionales Problem, es geht um Punkte [mm] $(x,y,z)\in\IR^3$. [/mm] Jede der beiden Gleichungen
[mm]e^{y-z} = y+x*\wurzel{z}[/mm]
[mm]y^z=z^{xy}[/mm]
definiert (implizit) eine Fläche im [mm] $\IR^3$. [/mm]
Warum ist das so? Nimm die erste der beiden Gleichungen als Beispiel: [mm]e^{y-z} = y+x*\wurzel{z}[/mm].
Wenn du die Koordinaten eines beliebigen Punktes [mm] $(x,y,z)\in\IR^3$ [/mm] einsetzt, so ist die Gleichung entweder erfüllt oder verletzt. Das heisst, durch diese Gleichung wird eine Menge von Punkten im [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert, für die die Gleichung gerade gilt. Das ist wohldefiniert, denn für jeden Punkt kannst du durch Einsetzen in die Gleichung nachrechnen, ob dieser Punkt in der Menge liegt oder nicht.
(Wenn du ein einfacheres Beispiel im [mm] $\IR^3$ [/mm] suchst, so nimm die Kugeloberfläche, die durch eine Gleichung wie [mm] $x^2+y^2+z^2=R^2$ [/mm] definiert werden kann.)
Zunächst einmal ist das alles, was du hast: eine implizite Definition einer Punktmenge:
[mm] M_1 = \{ (x,y,z) \mid e^{y-z} = y+x*\wurzel{z}\} [/mm] .
Manchmal kannst du eine explizite Funktion dazu angeben, in vielen Fällen nicht. (Hier könntest du nach x auflösen, aber nicht nach y oder z.) Trotzdem kannst du diese Menge aufmalen; du musst ja nur für jeden Punkt nachrechnen, ob er dazugehört oder nicht. In unserem Fall ist das eine Fläche.
Das Gleiche gilt für die zweite Gleichung [mm]y^z=z^{xy}[/mm]
Damit beide Gleichungen gleichzeitig gelten, müssen die Punkte auf beiden Flächen liegen, also auf der Schnittmenge der beiden Flächen. In unserem Fall ist das eine Schnittkurve.
In der Aufgabe geht es darum, zu zeigen, dass es eine explizite Darstellung dieser Schittkurve gibt, in der du y und z als Funktionen von x schreiben kannst. Es geht nur um die Existenz einer solchen Darstellung, du sollst sie nicht angeben!
Die Existenz der Darstellung liefert der Satz über implizite Funktionen; du musst also diesen Satz auf die Voraussetzungen der Aufgabe anwenden. Deine Punkte liegen im [mm] $\IR^3$; [/mm] du hast zwei Gleichungen
[mm]e^{y-z} - y+x*\wurzel{z} = 0[/mm] ,
[mm]y^z-z^{xy}=0[/mm] ,
also ist die implizite Funktion hier von der Form
[mm] F(x,y,z) = \vektor{e^{y-z} - y+x*\wurzel{z}\\y^z-z^{xy}} = \vektor{0\\0} [/mm] .
Gefragt ist nun nach Funktionen $y(x)$ und $z(x)$, sodass
[mm] F(x,y(x),z(x)) = 0 [/mm] für alle [mm] x\in I[/mm],
und zwar mit $y(0)=1$ und $z(0)=1$. Das heisst, der Ausgangspunkt der Überlegungen ist der Punkt $(x=0,y=1,z=1)$.
So, jetzt hast du alle Zutaten für die Anwendung des Satzes beisammen. Kommst du nun alleine weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Cassipaya |
Hallo Rainer
Ja, das hilft doch sehr! Vor allem die Bilder  genau das fehlt mir so oft im Studium. Danke für deine ausführliche Bemühung!
Ich schätze das sehr!
LG Cassi
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