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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 26.10.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | [mm] \bruch{n}{2} [/mm] < [mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+......+\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] < n Für ale n [mm] \in [/mm] N und [mm] n\ge [/mm] 2
Beweis durch voll. Induktion |
hallo,
hab mal wieder ein Problem mit der Induktion.
Den Anfang mit N=2 hab ich noch und es kommt 1< [mm] 1\bruch{1}{2} [/mm] < 2 raus, was ja korrekt ist.
dann hab ich nach n+1 gearbeitet und
komme auf folgende Annahme:
[mm] \bruch{n+1}{2} [/mm] < [mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+......+\bruch{1}{2^{n-1}}+\bruch{1}{2^{n}} [/mm] < n +1
das sollte auch noch stimmen. Was jetzt kommt glaub ich stimmt nicht mehr,doch könnte mir bitte jemand sagen wo mein (Denk)-Fehler liegt?!
Ich sehe in dieser Annahme meine eigentliche Aussgangsformel und "ziehe ab" dann komm ich auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] < 1 was ja definitiv nicht stimmt(wenigstens der linke Teil).....
Danke
Nerix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 26.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nerix!
> [mm]\bruch{n}{2} < 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+......+\bruch{1}{2^{n-1}} < n [/mm]
> Für ale n [mm]\in[/mm] N und [mm]n\ge[/mm] 2
> Beweis durch voll. Induktion
> hallo,
> hab mal wieder ein Problem mit der Induktion.
> Den Anfang mit N=2 hab ich noch und es kommt [mm]1< 1\bruch{1}{2} < 2[/mm] raus, was ja korrekt ist.
> dann hab ich nach n+1 gearbeitet und
> komme auf folgende Annahme:
> [mm]\bruch{n+1}{2} < 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+......+\bruch{1}{2^{n-1}}+\bruch{1}{2^{n}}< n +1[/mm]
>
> das sollte auch noch stimmen.
Da hast du die Formel falsch verstanden: du addierst nicht nur [mm] $\bruch{1}{2^n}$ [/mm] hinzu, sondern auch alle Brüche zwischen [mm] $\bruch{1}{2^{n-1}}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{2^n}$, [/mm] also
[mm] 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\dots+\bruch{1}{2^{n-1}} + \bruch{1}{2^{n-1}+1 }+ \bruch{1}{2^{n-1}+2 } + \dots + \bruch{1}{2^n-1}+ \bruch{1}{2^n} [/mm].
Das sind [mm] $2^{n-1}$ [/mm] zusätzliche Summanden.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 26.10.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
hmm, dass verstehe ich ehrlich nicht gesagt,wo diese zwischen Summanden herkommen, besonders nicht den Summanden [mm] \bruch{1}{2^n-1}...???
[/mm]
Ist meine generelle Vorgehnsweise des"abziehns" oder "vergleichens" überhaupt zulässig??
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 26.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nerix!
> Hallo,
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> hmm, dass verstehe ich ehrlich nicht gesagt,wo diese
> zwischen Summanden herkommen, besonders nicht den Summanden
> [mm]\bruch{1}{2^n-1}...???[/mm]
Nochmal schau dir die Definition an. Ich schreib's dir mal auf:
$n=2$: [mm]\bruch{2}{2} < 1 + \bruch{1}{2} < 2 [/mm]
$n=3$: [mm]\bruch{3}{2} < 1 + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} + \bruch{1}{4} < 3 [/mm]
(und nicht, wie du annimmst: [mm]\bruch{3}{2} < 1 + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{4} < 3 [/mm] !)
$n=4$: [mm]\bruch{4}{2} < 1 + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} + \bruch{1}{4} +\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}< 4 [/mm]
$n=5$: [mm]\bruch{5}{2} < 1 + \bruch{1}{2} + \bruch{1}{3} + \bruch{1}{4} +\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8} + \bruch{1}{9} + \bruch{1}{10} + \bruch{1}{11} +\bruch{1}{12}+\bruch{1}{13}+\bruch{1}{14}+\bruch{1}{15}+\bruch{1}{16} < 5 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Di 26.10.2010 | | Autor: | Nerix |
ah,ok,jetzt seh ichs auch!!!
Danke, schau jetzt mal,dass ich wieder alleine ans Ziel komme  Danke für die Hilfe
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